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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2021/2022 Cours de mathématiques Partie I – L

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2021/2022 Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MP2I Alain TROESCH Version du: 10 septembre 2021 Table des matières 1 Logique et raisonnements 5 I Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.1 Formule propositionnelles, prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.2 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.3 Négations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II Principes de rédaction, modes raisonnements et démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.1 Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.3 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.8 Principe de la descente inﬁnie (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Ensembles 19 I Théorie intuitive des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.1 Déﬁnition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.2 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.3 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.4 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.5 Union et intersection d’une famille de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.6 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.7 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.8 Fonction caractéristique (ou indicatrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II Paradoxes ensemblistes et axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.1 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.2 Tentatives d’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Applications 35 I Qu’est-ce qu’une application ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 III Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Table des matières 4 Sommes et produits 47 I Manipulation des signes P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 I.1 Déﬁnition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 I.2 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 I.3 Additivité par rapport aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 I.4 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 I.5 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I.6 Cas des produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.7 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.8 Produits de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 II.1 Somme des puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 II.2 Sommes géométriques . . . . . . uploads/Philosophie/ coursmp2i-fondements-nb.pdf