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R´ epublique Alg´ erienne D´ emocratique et Populaire Minist` ere de l’Enseigne

R´ epublique Alg´ erienne D´ emocratique et Populaire Minist` ere de l’Enseignement Sup´ erieur et de la Recherche Scientiﬁque Universit´ e Abou Bakr Belkaid- Tlemcen Facult´ e des Sciences D´ epartement de Math´ ematiques M´ emoire de Master En vue de l’obtention du diplˆ ome de Master en Math´ ematiques Option : ´ Equations Diﬀ´ erentielles Ordinaires Th` eme Probl` emes de Cauchy sur des intervalles non born´ es Pr´ esent´ e par : HAMOUM Yasmina M´ emoire soutenu le 3 Juillet 2017 devant le jury compos´ e de : Mr. Yebdri Mustapha Pr´ esident Mr.Mebkhout Benmiloud Examinateur Mr.Benchaib Abdellatif Examinateur Mr.Slimani Boualem Attou Encadreur Ann´ ee universitaire 2016-2017 Table des matières Notations 7 1 Préliminaires 9 2 Problème de Cauchy dans un espace de Fréchet 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 La solution du problème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Solution globale dans un espace de Banach 21 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Premier résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Deuxième résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Troisième résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Problème de Cauchy avec impulsions 31 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Système impulsif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Problème impulsif du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Equivalence entre le problème de cauchy et l’ équation intégrale . . . . . . . . . . . 33 4.5 Premier résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6 Deuxième résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1 TABLE DES MATIÈRES 2 Introduction La théorie des équations différentielles est un vaste domaine aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées. Celles-ci sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques comme pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste sans oublier la technique de datation par le C14 . Les équations différentielles déﬁnies sur la demi droite réelle positive modélisent beaucoup de phénomènes physique,par exemple dans l’étude du courant instable d’un gaz à travers un nuage [2, 18] la physique du plasma [3] etc . D’autre part ,les équations différentielles impulsives apparaient comme une description naturelle de nombreux phénomènes d’évolution dans le monde réel. La majorité des processus dans les sciences appliquées sont représentés par des équations différentielles. Cependant, la situation est différente dans certains phénomènes physiques subisant des change- ments brusques au cours de leur évolution comme les systèmes mécaniques avec impact, les systèmes biologiques (battements du coeur, ﬂux du sang,...) ,la dynamique des populations ,la dynamique des cellules etc. Depuis plusieurs années, plusieurs chercheurs s’intéressent à l’existence des solutions de ces équa- tions . La résolution d’une équation différentielle requiert une bonne combinaison de connaissances en mathématiques telle que la continuité par rapport aux conditions initiales et aux autres paramètres du système. Dépendamment du type de solution en quête, plusieurs méthodes ont été développées comme celle de la théorie du point ﬁxe et bien d’autres voir par exemple les références[1, 12, 16] . En général , aﬁn d’étudier l’aspect qualitatif telle que l’oscillation des solutions ,la stabilité ou le comportement asymptotique ,nous devons établir les résultats globaux . Ceci est l’une des motivations de ce travail. Ce mémoire est consacré à quelque résultats d’existence et d’unicité des solutions pour quelques classes d’équations différentielles sur des espaces de Banach et de Fréchet .Nous nous inspirons principalement du travail[12]et pour plus de détaille voir les références [1, 4, 6, 8, 12, 26]. L’approche est basée sur la théorie du point ﬁxe particulièrement l’alternative non linéaire de type Leray-Schauder pour les contractions sur les espaces de Banach et Fréchet . 3 TABLE DES MATIÈRES Ce travail est composé de quatre chapitres et d’une bibliographie et est organisé comme suit : Le premier chapitre porte sur des préliminaires où on rappelle des déﬁnitions et des théorèmes nécessaires pour le développement de notre travail. Le deuxième chapitre est consacré à l’étude du problème suivant : y′(t) = f(t,y(t)) p.p t ∈J = [0,+∞[ (1) y(0) = y0 (2) Où f : J ×R − →R est une fonction donnée. le problème sera étudié sur l’espaces de Fréchet C([0,+∞[,R) = {y : [0,+∞[7− →R est continue } , muni de la semi norme ∥y∥n = sup t∈[0,+∞[ |y(t)|, t ∈[0.n] Le troisième chapitre est consacré à l’étude du problème : y′(t) = f(t,y(t)) p.p t ∈[0,+∞[ (3) y(0) = y0 (4) Où f : [0,+∞[×R − →R est une fonction donnée , et y0 ∈R . le problème sera étudié sur l’espaces de Banach BC([0,+∞[,R) = {y : [0,+∞[7− →R est continue et borné } , muni de la semi norme ∥y∥BC = sup t∈[0,n] |y(t)|, t ∈[0.+∞[ Dans le quatrième chapitre , on considère le problème suivant : y′(t) = f(t,y(t)) p.p t ∈[0,+∞[\{t1,t2,...} (5) ∆y(t) = y(t+ k )−y(t− k ) = Ik(y(t− k )) ,k = 1,...,m (6) y(0) = y0 (7) Où f : [0,+∞[×R − →R est une fonction donnée , et Ik : R − →R sont des fonctions données , k=1,...,m et y0 ∈R avec t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tk, y(t+ k ) = lim t− →tk y(t) , y(t− k ) = lim t− →tk y(t) 4 TABLE DES MATIÈRES le problème sera étudié sur l’espaces de Banach suivant : PC([0,+∞[,R) = ( y : [0,+∞[− →R, lim t− →+∞e−rdt|y(t)| existe, y ∈C(J∗,R), y(t+ k ) et y(t− k ) existent et y(t− k ) = y(tk),k = 1,2,...,m. Nous terminerons ce travail par une conclusion . 5 TABLE DES MATIÈRES 6 Notations J = [0,+∞[ : intervalle réel positive . C(J,E) : espace des fonctions continues sur J à valeurs dans un espace de Banach E muni de la norme ∥y∥∞= sup{∥y∥: t ∈J} òu ∥.∥est une norme sur E. AC1(J,E) espace de Banach des fonctions dérivables y : J →E ayant la première dérivée absolument continue. Ck(J,E) : espace des fonctions k fois continument dérivables de J dans E.. L1(J,E) espace de Banach des fonctions mesurables y : J 7− →R qui sont Lebesgue intégrables, muni de la norme ∥y∥L1 = Z ∞ 0 |y(t)|dt. Lp(J,E) : espace des fonctions p-intégrables sur J Lp loc(J,E) : espace des fonctions localement p-intégrables. BC([0,+∞[,R) : espace des fonctions continues bonées . {∥.∥} : la famille des semi-normes . ∼n : relation d’équivalence . Xn = (X/ ∼n,∥.∥n) : espace quotient . (Xn,∥.∥) : le complémentaire de X par rapport à ∥.∥n . [x]n : la classe d’équivalence de x dans Xn Y n = {[x]n : x ∈Y}. intn(Y n) : l’intérieure de Y n par rapport à ∥.∥dans Xn. ∂nY n : la frontière de Y n par rapport à ∥.∥dans Xn. 7 TABLE DES MATIÈRES 8 Chapitre1 Préliminaires Dans ce chapitre, on introduit les déﬁnitions qui seront utilisées dans ce mémoire .Nous rappelons certains théorèmes uploads/Philosophie/ problemes-de-cauchy-sur-des-intervalles.pdf