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Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 © Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 1 / 18 Annexe Programme de l’enseignement spécifique et de spécialité de mathématiques Classe terminale de la série scientifique L’enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque élève la culture mathématique indispensable pour sa vie de citoyen et les bases nécessaires à son projet de poursuite d’études. Le cycle terminal de la série S procure un bagage mathématique solide aux élèves désireux de s’engager dans des études supérieures scientifiques, en les formant à la pratique d’une démarche scientifique et en renforçant leur goût pour des activités de recherche. L’apprentissage des mathématiques cultive des compétences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident à mieux appréhender une société en évolution. Au-delà du cadre scolaire, il s’inscrit dans une perspective de formation de l’individu. Objectif général Outre l’apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes : x mettre en œuvre une recherche de façon autonome ; x mener des raisonnements ; x avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ; x communiquer à l’écrit et à l’oral. Raisonnement et langage mathématiques Comme en classe de seconde, les capacités d’argumentation, de rédaction d’une démonstration et de logique font partie intégrante des exigences du cycle terminal. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne font pas l’objet de cours spécifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des moments d’institutionnalisation de certains concepts ou types de raisonnement, après que ceux-ci ont été rencontrés plusieurs fois en situation. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne sont pas fixés d’emblée, mais sont introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité. Il convient de prévoir des temps de synthèse, l’objectif étant que ces éléments soient maîtrisés en fin de cycle terminal. Utilisation d’outils logiciels L’utilisation de logiciels, d’outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation change profondément la nature de l’enseignement en favorisant une démarche d’investigation. En particulier lors de la résolution de problèmes, l’utilisation de logiciels de calcul formel limite le temps consacré à des calculs très techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements. L’utilisation de ces outils intervient selon trois modalités : x par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ; x par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; x dans le cadre du travail personnel des élèves hors de la classe. Diversité de l’activité de l’élève Les activités proposées en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la résolution de problèmes purement mathématiques ou issus d’autres disciplines. De nature diverse, elles doivent entraîner les élèves à : x chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à l’aide d’outils logiciels ; x choisir et appliquer des techniques de calcul ; x mettre en œuvre des algorithmes ; x raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ; x expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit. Des éléments d’épistémologie et d’histoire des mathématiques s’insèrent naturellement dans la mise en œuvre du programme. Connaître le nom de quelques mathématiciens célèbres, la période à laquelle ils ont vécu et leur Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 © Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 2 / 18 contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. La présentation de textes historiques aide à comprendre la genèse et l’évolution de certains concepts. Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, les travaux hors du temps scolaire contribuent à la formation des élèves et sont absolument essentiels à leur progression. Ils sont conçus de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité de leurs aptitudes. Les modes d’évaluation prennent également des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l’aptitude à mobiliser l’outil informatique dans le cadre de la résolution de problèmes est à évaluer. Organisation du programme Le programme fixe les objectifs à atteindre en termes de capacités. Il est conçu pour favoriser une acquisition progressive des notions et leur pérennisation. Son plan n’indique pas la progression à suivre. À titre indicatif, on pourrait consacrer la moitié du temps à l’analyse, l’autre moitié se répartissant équitablement entre géométrie et probabilités-statistique. Les capacités attendues indiquent un niveau minimal de maîtrise des contenus en fin de cycle terminal. La formation ne s’y limite pas. Les capacités attendues dans le domaine de l’algorithmique d’une part et du raisonnement d’autre part sont rappelées en fin de programme. Elles doivent être exercées à l’intérieur de chaque champ du programme. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole Œ. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole ‘. Les commentaires notés ' distinguent des thèmes pouvant se prêter à des ouvertures interdisciplinaires, en concertation avec les professeurs d’autres disciplines scientifiques. Quelques propositions d’approfondissement, destinées à des activités dans le cadre de l’accompagnement personnalisé, figurent en italique avec la mention . Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 © Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 3 / 18 1. Analyse Comme dans les classes précédentes, l’activité mathématique est motivée par la résolution de problèmes. L’un des objectifs du programme est de permettre à l’élève, par une consolidation et un enrichissement des notions relatives aux suites et aux fonctions, d’étudier un plus grand nombre de phénomènes discrets ou continus. La notion de limite de suite fait l’objet d’une étude approfondie. On prépare ainsi la présentation des limites de fonctions. L’ensemble des fonctions mobilisables est élargi par l’introduction des fonctions exponentielle, logarithme, sinus et cosinus. La fonction exponentielle intervenant dans différents champs du programme, il est souhaitable de l’introduire assez tôt dans l’année. Enfin, s’ajoute le nouveau concept d’intégration qui, bien que modestement abordé et développé, demeure un concept fondamental de l’analyse. L’acquisition d’automatismes de calcul demeure un objectif du programme, cependant, dans le cadre de la résolution de problèmes, on a recours si besoin à un logiciel de calcul formel ou scientifique. Contenus Capacités attendues Commentaires Suites Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d’une suite. x Savoir mener un raisonnement par récurrence. ‘ Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante ( n u ) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel n u est supérieur à A. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Pour exprimer que n u tend vers l quand n tend vers f  , on dit que : « tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs n u à partir d’un certain rang ». Pour exprimer que n u tend vers f  quand n tend vers f  , on dit que : « tout intervalle de la forme @ > f  , A contient toutes les valeurs n u à partir d’un certain rang ». Comme en classe de première, il est important de varier les approches et les outils sur lesquels le raisonnement s’appuie. On présente des exemples de suites qui n’ont pas de limite. Limites et comparaison. Œ Démontrer que si ( n u ) et ( n v ) sont deux suites telles que : - n u est inférieur ou égal à n v à partir d’un certain rang ; - n u tend vers f  quand n tend vers f  ; alors n v tend vers f  quand n tend vers f  . Œ On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. Le théorème dit « des gendarmes » est admis. Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 © Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 4 / 18 Contenus Capacités attendues Commentaires Opérations sur les limites. Comportement à l’infini de la suite ( n q ), q étant un nombre réel. x Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Œ Démontrer que la suite ( n q ), avec 1 ! q , a pour limite f  . x Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique. On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : na a n  t  1 ) 1 ( . On peut étudier des situations où intervient la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. Suite majorée, minorée, bornée. x Utiliser le théorème uploads/Philosophie/ programme-mathematiques-terminale-s.pdf

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Philosophied’une fonction limite intervalle aléatoire
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