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Khaled Jabeur HDR (IHEC de Carthage, Tunisie), Ph.D. (Université Laval, Canada)

Khaled Jabeur HDR (IHEC de Carthage, Tunisie), Ph.D. (Université Laval, Canada), M.B.A (Université Laval, Canada), Ing. (FST, Tunisie) Khaled.jabeur@tek-up.de Maître de Conférences à l’Institut Supérieur de Gestion (ISG) de Bizerte Chapitre 1. Variables aléatoires et lois usuelles de probabilité Plan K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 2/67 1. Introduction 2. Variables aléatoires continues 3. Lois de probabilité continues usuelles Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 3/67 Un peu d’histoire … La théorie des probabilité est née de l’étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D’ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe « az-zahr » signifiant le dé à jouer. On attribut au mathématicien et philosophe français Blaise Pascal (1623-1662) les premières pierres de cet édifice théorique. Cette théorie s’est ensuite développée au cours des siècles pour devenir une discipline mathématique à part entière. On doit au mathématicien russe Kolmogorov en 1933, une formalisation de la théorie des probabilités. Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 4/67 Définition de la théorie des probabilités La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des expériences aléatoires ; elle vise à construire des modèles mathématiques pour analyser des situations impliquant l’incertitude, et à définir des mesures exactes de cette incertitude par l’intermédiaire de ces modèles. Expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 5/67 Définition d’une expérience aléatoire En théorie des probabilité, une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie les trois conditions suivantes : 1. Son résultat dépend du hasard, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être prédit avec certitude; 2. L'univers des résultats possibles peut être décrit avant l'expérience. 3. On peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions.  Exemples : Lancer une pièce de monnaie un certains nombre de fois, Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de pièces, Observer le nombre de clients qui entrent dans un supermarché durant une journée, … Expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 6/67  Exemples :  Lancer une pièce de monnaie 4 fois : Un résultat possible 3 piles et 1 face ;  Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 1000 pièces : Un résultat possible 5 pièces ;  Observer le nombre de clients qui entrent dans un Supermarché durant une journée : Un résultat possible 1500 clients. Définition d’un résultat Un résultat est ce qu’on observe suite à une expérience aléatoire. Expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 7/67  Exemples :  Lancer un dé une seul fois :  = 1, 2, 3, 4, 5, 6;  Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 1000 pièces :  = 0, 1, 2, 3, 4, …, 1000;  Lancer une pièce de monnaie deux fois de suite :  = (P, P), (P, F) (F, P), (F, F);  Lancer successivement un dé et une pièce de monnaie :  = (P, 1), (P, 2) (P, 3), (P, 4), (P, 5), (P, 6), (F, 1), (F, 2) (F, 3), (F, 4), (F, 5), (F, 6). Définition de l’ensemble fondamental  On appel ensemble fondamental (ou univers des possibles), l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Cet ensemble est généralement noté par .  Remarque : Tout résultat de l’expérience aléatoire correspond à un élément et un seul de l’ensemble fondamental . Expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 8/67 Type d’ensembles fondamentaux Il existe deux types d’ensembles fondamentaux : 1. Un ensemble fondamental discret : lorsque  contient un ensemble fini ou infini dénombrable d’éléments, c’est-à-dire que les éléments de  peuvent être énumérés sous la forme d’une suite .   fini   =    infini dénombrable   =  2. Un ensemble fondamental continu : lorsque  contient un ensemble infini non-dénombrable d’éléments, c’est-à-dire que les éléments de  représentent tous les réels possibles d’un intervalle I . Expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 9/67  Exemples d’expériences aléatoires conduisant aux différents types d’ensembles fondamentaux :  Ensemble fondamental fini (Discret) : Lancer un dé une seul fois :  = 1, 2, 3, 4, 5, 6;  Ensemble fondamental infini dénombrable (Discret) : Tirer au hasard des pièces dans un lot et observer le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première pièce défectueuse. On suppose que le lot contient au moins une pièce défectueuse et que les tirage s’effectuent avec remise :  = 1, 2, 3, 4, … ;  Ensemble fondamental infini non-dénombrable (Continu) : Noter le temps d’attente devant un Distributeur Automatique de Billets (DAB) :  0, 5 minutes. Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 10/67 Mise en contexte Dans une expérience aléatoire, au lieu de s’intéresser aux résultats eux-mêmes, on s’intéresse plutôt à des caractéristiques numériques particulières de ces résultats. Exemple 1 : Si on lance une pièce de monnaie 3 fois de suite, on obtient l’ensemble fondamental Ω suivant (c’est un ensemble de triplets) : Ω = {(F, F, F), (F, F, P), (F, P, F), (P, F, F), (P, P, P), (P, P, F), (P, F, P), (F, P, P) } Au lieu de s’intéresser à chacun de ces 8 résultats, on pourra, par exemple, s’intéresser à la caractéristique numérique suivante : Le nombre de faces obtenues. Une variable aléatoire est en fait une caractéristique numérique que possède chacun des résultats de l’ensemble fondamental Ω. Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 11/67 Arbre d’évènements qui schématise l’expérience aléatoire  Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 12/67 Ensemble fondamental Ω X = le nombre de faces obtenues (F, F, F) (F, F, P) (F, P, F) (P, F, F) (P, P, P) (P, P, F) (P, F, P) (F, P, P) 0 1 2 3 Mise en contexte … Ainsi, si dans l’exemple précédent on définit la variable aléatoire X comme le nombre de faces obtenues, on pourra facilement établir les correspondances entre les résultats de l’ensemble fondamental Ω et les différentes valeurs numériques possibles de la variable aléatoire X. Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020  Exemple 2 : Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S’il obtient les chiffres 1, 2, 3, ou 4, il perd 5 dinars. Si le joueur obtient le chiffre 5, il gagne 7 dinars. Sinon il gagne 10 dinars. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Établir les correspondances entre Ω et X. (N.B. Un gain algébrique peut être négatif et dans ce cas il devient une perte). X = Gain algébrique -5 7 10 1 2 3 4 5 6 L’ensemble fondamental Ω 13/67 Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 14/67 Définition d’une variable aléatoire Une variable aléatoire (v.a.) X est une application définie sur l’ensemble fondamental Ω, qui associe à chaque résultat ω de Ω une valeur réelle X(ω). Mathématiquement cela peut s’écrire comme suit : Remarque : Une variable aléatoire est toujours notée par une lettre majuscule. : ( ) X X     Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 15/67 Types de variables aléatoires Il existe deux types de variables aléatoires : 1. Lorsque l’ensemble des valeurs possibles d’une variable aléatoire X est fini ou infini dénombrable, alors cette variable aléatoire X est dite discrète (généralement les valeurs de X sont incluses dans ou ); 2. Lorsque l’ensemble des valeurs possibles d’une variable aléatoire X est infini non-dénombrable, alors cette variable aléatoire est dite continue. En d’autres termes, une variable aléatoire continue peut prendre n’importe quelle valeur réelle d’un intervalle de nombres réels. Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 16/67 Fonction de densité d’une variable aléatoire continue  Rappelons qu’une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un certain intervalle I de .  Définition 1 : Soit f une fonction de dans . On dit que f est une fonction de densité de probabilité si et seulement si : 1. f est continue sur sauf peut-être en un nombre fini de points.  Définition 2 : On dit qu’une variable aléatoire X est à densité s’il existe une densité de probabilité fX telle que, pour tout intervalle non vide I de , la probabilité que X appartienne à I soit égale à l’intégrale de fX sur I : On dit alors que X admet fX pour densité ou que fX est une densité de X.   ( ) X I P X I f x dx   Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 17/67 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue uploads/Philosophie/ chapitre-1-variables-aleatoires-et-lois-usuelles-de-probabilite-2021vf.pdf