Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RAISONNER, RÉDIGER On peut très bie

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RAISONNER, RÉDIGER On peut très bien comprendre une égalité d’ensembles ou l’équivalence de deux propositions en les lisant sans se sentir le moins du monde capable de les démontrer. « Je ne sais pas par où commencer », dit l’étudiant. Vous trouverez justement dans cette annexe de quoi commencer vos preuves, entre autres choses. Quel premier pas pour montrer une implication ? Quel premier pas pour montrer une inclusion ? Le premier pas est avant tout une affaire de bonne rédaction. Tant qu’on fait des mathématiques assez faciles, la rédaction n’a que des vertus esthétiques, bien rédiger revient seulement à rédiger selon les canons de la correction et de l’élégance. Dès qu’on touche à des raisonnements délicats au contraire, bien rédiger c’est essentiellement bien penser, c’est-à-dire penser avec méthode et rigueur. Votre salut mathématique dépendra cette année en grande partie de votre capacité à intérioriser le contenu des para- graphes qui suivent et à en faire des réﬂexes. Relisez régulièrement cette annexe au gré de vos lacunes et de vos besoins. Et surtout : Maîtrisez-vous, chaque mot et chaque symbole vous engagent. Facile à dire, difﬁcile à faire. Prenez ce conseil comme un objectif ET comme un commandement. Vous vouliez connaître le secret ultime de la réussite en mathématiques ? C’est justement cela, la maîtrise de soi. Tout le monde n’est pas un génie, mais tout le monde peut s’auto-discipliner en mathématiques, progresser et y prendre du plaisir. Et si un jour vous constatez que vous n’arrivez pas à vous maîtriser sufﬁsamment, ce sera peut-être que vous ne le voulez pas assez fort ? SOMMAIRE 1 AXIOMES, DÉFINITIONS, THÉORÈMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 INTRODUIRE UNE VARIABLE, DONNER UN NOM À UN OBJET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 MONTRER UNE PROPOSITION UNIVERSELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 MONTRER L’EXISTENCE D’UN OBJET.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 MONTRER L’UNICITÉ D’UN OBJET .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 MONTRER UNE DISJONCTION, UNE IMPLICATION OU UNE ÉQUIVALENCE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 MONTRER UNE INCLUSION OU UNE ÉGALITÉ D’ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 LE RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 LE RAISONNEMENT PAR ANALYSE-SYNTHÈSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 BIEN RÉDIGER AVEC LES FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 AXIOMES, DÉFINITIONS, THÉORÈMES • Axiomes : Dans une théorie formelle quelconque, mathématique ou non, on appelle axiomes les propositions que la théorie tient pour vraies sans justiﬁcation comme points de départ. Nous aurons très peu l’occasion de rencontrer les axiomes sur lesquels les mathématiques sont traditionnellement fondés. Dans notre démarche de fondement pourtant, tout au long de l’année, nous aurons à cœur de démontrer presque tous les énoncés que nous manipulerons — mais pas tous, nous ne remonterons pas en-deçà d’un certain point. Précisément, nous admettrons l’existence des nombres réels avec toutes les propriétés que nous leur connaissons, alors que les mathématiques en réalité, loin d’accepter les réels sans discussion, sont capables d’en offrir une construction à partir d’axiomes plus élémentaires. • Déﬁnitions : On appelle déﬁnition toute manière d’accorder un nom jusqu’ici inusité à un objet vériﬁant une certaine propriété. Une déﬁnition crée ainsi une classe d’objets — les oiseaux, par exemple — réunis autour d’un certain nom — le mot « oiseau » — lequel résume une certaine propriété — « animal à plumes ». Pourquoi un nom « jusqu’ici inusité » ? Tout simplement parce qu’il ne faut pas qu’un même nom puisse signiﬁer des choses différentes. L’homonymie est tolérée dans le langage usuel mais pas en mathématiques par souci de rigueur formelle. La situation du mot « verre » par exemple, à la fois matériau brut et objet dans lequel je bois, est interdite en mathématiques. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Pour déﬁnir la classe des objets « machin », deux rédactions possibles : « On appelle machin tout objet tel que... » ou bien : « Soit x un objet. On dit que x est un machin s’il vériﬁe... » • Théorèmes : On appelle théorème toute proposition d’une théorie que l’on a pu démontrer à partir de ses axiomes. Une théorie n’est ﬁnalement qu’un empilement ordonné d’axiomes, de démonstrations et de théorèmes. Trois autres mots sont couramment utilisés pour désigner certaines formes de théorèmes : — Lemmes : On appelle lemme tout théorème préparatoire à la démonstration d’un « plus gros » théorème. La démonstration d’un gros théorème peut ainsi se trouver saucissonnée en morceaux plus petits. — Corollaires : On appelle corollaire tout théorème qui est une conséquence presque immédiate d’un « plus gros » théorème. — Caractérisations : On appelle caractérisation tout théorème sur une notion qui donne une condition équivalente à la déﬁnition de cette notion. Une caractérisation est donc au fond ce qu’on pourrait appeler une « redéﬁnition ». Exemple bien connu : Déﬁnition (Fonction croissante) Soient I un intervalle et f : I −→R une fonction. On dit que f est croissante sur I si : ∀x, y ∈I, x < y =⇒ f (x) ⩽f (y) . Voilà pour la déﬁnition. Le théorème suivant redéﬁnit la notion de croissance dans le cas des fonctions DÉRIVABLES. Théorème (Caractérisation des fonctions dérivables croissantes) Soient I un intervalle et f : I −→R une fonction DÉRIVABLE. Alors f est croissante sur I si et seulement si f ′ est positive ou nulle sur I. 2 uploads/Philosophie/ cours-raisonner-rediger.pdf