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Mémoire de recherche pédagogique Section : Mathématiques Cycle secondaire quali

Mémoire de recherche pédagogique Section : Mathématiques Cycle secondaire qualifiant [Tapez le résumé du document ici. Il s’agit généralement d’une courte synthèse du document. Tapez le résumé du document ici. Il s’agit généralement d’une courte synthèse du document.] Centre régional des métiers de l'éducation et de la formation du Grand Casablanca Réalisé par: Sara MOBARAK Asmaâ MOUSSADDAR Encadré par: Pr. Benyounes BETTIOUI Année de formation: 2013/2014 Raisonnement par récurrence - Sa place et ses difficultés au second cycle - Membres du jury: Pr. Benyounes BETTIOUI : Formateur au centre régional des métiers de l’éducation et de la formation (CRMEF) Pr. Jamal HARRAQ : Formateur au centre régional des métiers de l’éducation et de la formation (CRMEF) Pr. Latifa FAOUZI : Formatrice au centre régional des métiers de l’éducation et de la formation (CRMEF) Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 1 Table des matières Dédicaces ................................................................................................................................... 4 Remerciements ........................................................................................................................... 5 Introduction générale: ................................................................................................................ 6 Problématique: ........................................................................................................................... 7 Partie 1: Cadre théorique ........................................................................................................ 8 Chapitre 1: Définition et généralités sur les raisonnements: ...................................................... 9 1.Définition et nature du raisonnement:…… ......................................................................... 9 2. Principe de la logique mathématique : ............................................................................. 10 3. Raisonnement mathématique et inférence: ....................................................................... 10 4.Raisonnement mathématique et démonstration:……… .................................................... 11 5.Validité d'un raisonnement:…… ....................................................................................... 11 6.Classification des raisonnements:….. ................................................................................ 12 6.1. Raisonnement naturel et raisonnement mathématique: ........................................... 14 6.2. Classification des raisonnements mathématiques: .................................................... 14 Chapitre 2: Nature du raisonnement par récurrence: ............................................................... 17 1. L'histoire du raisonnement par récurrence:……. ............................................................. 17 2.Le principe du raisonnement par récurrence:…… ............................................................ 19 3.Justification de ce principe:….. ......................................................................................... 19 4.Les formes du raisonnement par récurrence:…… ............................................................. 20 4.1.La récurrence simple:……. ......................................................................................... 20 4.2.La récurrence double:……. ........................................................................................ 20 4.3.La récurrence forte:…… ............................................................................................. 21 Conclusion: ............................................................................................................................... 21 Partie 2: Cadre pratique ........................................................................................................ 22 Chapitre 3: Contexte et objectifs de la recherche: .................................................................... 23 1.Présentation:……. ............................................................................................................. 23 2.Ciblage:…….. .................................................................................................................... 23 Chapitre 4: Enquête sur les difficultés du raisonnement par récurrence: ................................. 24 1.Elaboration d'un instrument de recueil de données: Le Questionnaire…… ..................... 24 Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 2 2.Etapes de création du questionnaire:….. ........................................................................... 24 3.Analyse et interprétation des résultats de l'étude:…………… .......................................... 25 3.1 Codage des réponses:………… .................................................................................. 25 3.2 Traitement informatique des résultats:………… ........................................................ 25 3.3 Exploitation des résultats:……… ............................................................................... 25 4. Les difficultés détectées dans la mise en œuvre du raisonnement par récurrence par les apprenants : ……………………………………………………………………………….. 40 Chapitre 5: Recommandations proposées pour développer la capacité des apprenants à bien utiliser ce type de raisonnement : ............................................................................................. 42 Chapitre 6: Suggestion de quelques problèmes faisant intervenir le raisonnement par récurrence : ............................................................................................................................... 43 Problème 1: ............................................................................................................. 43 Problème 2: ............................................................................................................. 44 Problème 3: ............................................................................................................. 45 Problème 4:………………………………………………………………………………..47 Problème 5:………………………………………………………………………………..48 Conclusion générale…………………………………………………………………………..49 Bibliographie: ........................................................................................................................... 50 Webographie: ........................................................................................................................... 50 Annexe 1: Questionnaire proposé sur le raisonnement par récurrence: ................................... 51 Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 3 Liste des Figures: Figure 1: Triangle arithmétique de Pascal Blaise extrait du livre Lectures sur les Mathématiques, l'enseignement et les concours, Volume 4, page 46 ...................................... 18 Figure 2 : Question1: Le raisonnement où les apprenants trouvent le plus de difficultés ...... 27 Figure 3 : Question 2: Parmi ces propositions, quelles sont celles qu'on peut démontrer avec un raisonnement par récurrence? .............................................................................................. 28 Figure 4 : Question3: Avez-vous utilisé le raisonnement par récurrence dans d'autres leçons que Principes dans la logique? ................................................................................................. 29 Figure 5 : Question 4: Si vous avez déjà utilisé le raisonnement par récurrence dans d'autres cours, précisez les ..................................................................................................................... 30 Figure 6 : Les apprenants ayant répondus dans les cours précisés par les Suites ................... 31 Figure 7 : Question 5: Etape d'initialisation ............................................................................ 32 Figure 8 : Question 5: Etape de formulation de l'hérédité ...................................................... 32 Figure 9 : Question 5: Etape de démonstration de l'hérédité .................................................. 33 Figure 01 : Question 5: Etape de conclusion .......................................................................... 33 Figure 11: Comparaison de la première étape entre les sciences maths et sciences expérimentales .......................................................................................................................... 34 Figure 12: Comparaison de la deuxième étape entre les sciences maths et sciences expérimentales .......................................................................................................................... 35 Figure 13: Comparaison de la troisième étape entre les sciences maths et sciences expérimentales .......................................................................................................................... 36 Figure 14: Comparaison de la quatrième étape entre les sciences maths et sciences expérimentales .......................................................................................................................... 37 Figure 05 : Question 6: Choisir parmi ces deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur....................................................................................................................................... 38 Figure 06 : Question 6: Choisir parmi ces deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreu (Sciences Maths) ........................................................................................................... 39 Figure 07 : Question 6: Choisir parmi ces deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur (Sciences Expérimentales) ........................................................................................... 40 Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 4 Dédicaces A nos très chers parents, d’avoir sacrifier leur temps, leurs efforts pour nous encourager à persévérer dans nos études. Aucune dédicace ne saurait exprimer notre gratitude et notre profond respect. A nos familles, A tous nos amis et collègues Pour les moments agréables qu’on a passé ensemble dans notre parcours. Sara MOBARAK et Asmaâ MOUSSADDAR Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 5 Remerciements Avant d’entamer notre recherche pédagogique, nous tenons à exprimer notre profonde gratitude et sincère reconnaissance à notre encadrant, le Professeur Benyounes BETTIOUI pour sa qualité d'encadrement, sa disponibilité, ses précieux conseils, ses directives et ses recommandations tout au long de notre période d'encadrement, et de formation. Nos remerciements les plus sincères s’adressent aussi aux professeurs, Jamal HERRAQ, Latifa FAOUZI, et Khalid HETTAF. Ce fût un immense privilège et un grand honneur d’être parmi vos étudiants, nous tenons à les remercier pour leurs conseils et leurs orientations qui nous ont permis de mieux avancer dans nos études. Nous tenons à remercier également les membres du jury, pour l’honneur qu’ils nous ont fait en acceptant de juger ce travail. Finalement, nous adressons nos remerciements et notre profonde reconnaissance à toute personne ayant participé de près ou de loin à l’élaboration de ce modeste travail. Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 6 Introduction générale: L'enseignement des mathématiques au Maroc accorde depuis des décennies une importance majeure à quelques grands thèmes mathématiques qui ont mobilisé les plus grands esprits des temps passés. En effet, ces scientifiques ont mis au point des axiomes sur lesquels se fondent les vérités en mathématiques. Ces dernières qui ne sont atteintes que suites à des démonstrations bien fondées selon des méthodes rigoureuses, c’est-à-dire suite à des raisonnements mathématiques. Par ailleurs, les raisonnements mathématiques ont une place centrale dans le programme de mathématiques marocain, puisqu'il insiste fortement sur l'importance de la résolution de problèmes dans l'acquisition des connaissances, qui recouvre plusieurs activités, qui, toutes, s'appuient sur le raisonnement de l'élève. Ces activités sont successives et se déclinent en une lecture, et organisation des informations aussi en un engagement dans une démarche de recherche et d'investigation, par la suite, à la mise en œuvre de techniques pour la résolution et enfin à la communication des résultats. Pendant notre période de stage, nous avons remarqué que les élèves du second cycle ne maîtrisaient pas vraiment les différents types de raisonnement mathématiques et que même s’ils connaissaient la solution, dans la plus part des cas, ils n’arrivaient pas à bien formuler leurs démonstrations. De ce constat, nous avons jugé intéressant de mener une étude sur les différents types de raisonnements étudiés au lycée, et plus exactement se concentrer sur le raisonnement par récurrence. Dans un second temps, nous essayerons de cerner les difficultés rencontrées par les apprenants lors de sa mise en œuvre. Ainsi notre intitulé de recherche: "Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle". Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle 7 Problématique: L’intégration des raisonnements mathématiques au lycée a principalement deux objectifs : Fournir aux apprenants des principes leurs permettant d’organiser leurs idées, lors de la résolution de problèmes. Munir les apprenants de techniques et modèles leurs permettant la formulation de démonstrations mathématiques claires et correctes. Cependant, l'atteinte de ces objectifs n'est pas toujours réalisée parce que les étudiants n'arrivent pas à faire le lien entre les raisonnements mathématiques et les autres cours programmés au cours de l'année. Comme nous avons cité dans l'introduction, nous nous intéressons dans le présent travail sur le raisonnement par récurrence, vu la difficulté que rencontrent les apprenants lors de sa mise en œuvre. Certes, le raisonnement par récurrence est une démarche qui est trop utilisé dans les démonstrations en mathématiques. Il faut noter aussi que ce type de raisonnement requiert une bonne compréhension du principe dans l'ensemble par les étudiants avant son élaboration. Mais, il s'avère que plusieurs d'entre eux ne savent pas exactement quand et comment l'utiliser. A travers notre travail, nous allons essayer d'apporter des éléments de réponses à la problématique suivante: "Quelles sont les difficultés que rencontrent les apprenants lors de la mise en œuvre du raisonnement par récurrence? Et comment les expliquer?" Plusieurs personnes ont tendance à expliquer ces difficultés par une confusion des étapes de raisonnement, ou par le temps insuffisant consacré à uploads/Philosophie/ raisonnement-par-rc3a9currence-sa-place-et-ses-difficultc3a9s-au-second-cycle-11.pdf