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LOGIQUE Cours de deuxi` eme ann´ ee de bachelier en Philosophie P. Gribomont 20

LOGIQUE Cours de deuxi` eme ann´ ee de bachelier en Philosophie P. Gribomont 2003-2008 Table des mati` eres 1 Introduction 3 1.1 Enseigner la logique formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Quelques atouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Quelques probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Quelques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Digression : Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Qu’est-ce que la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 La logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 La logique pr´ edicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Trop simple, la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Logique et math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Logique propositionnelle : syntaxe et s´ emantique 13 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 G´ en´ eralit´ es sur les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 G´ en´ eralit´ es sur les connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Les connecteurs v´ erifonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Les connecteurs usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Digression : la r´ ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Les nombres naturels, de la “d´ eﬁnition” ` a l’axiomatisation . . . . . . . 20 2.2.2 La r´ ecurrence et sa justiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Utiliser la r´ ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4 Un usage incorrect de la r´ ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 R´ ecurrence non num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Syntaxe du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Les r` egles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Les r` egles simpliﬁcatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Les notations polonaises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.4 Formules et sous-formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.5 Exemples de r´ ecurrence non num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 S´ emantique du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 D´ eﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Les connecteurs naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Formalisation d’un texte en langage naturel . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.4 Logique et arithm´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Relation de cons´ equence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.1 Consistance et validit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.2 Cons´ equence logique, ´ equivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.3 Echange et substitution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Quelques th´ eor` emes s´ emantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.1 Interpolation et d´ eﬁnissabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.2 Th´ eor` eme de compacit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i 3 Proc´ edures de d´ ecision analytiques 49 3.1 La m´ ethode des tables de v´ erit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Les tableaux s´ emantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Technique de construction du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Propri´ et´ es de la m´ ethode des tableaux s´ emantiques . . . . . . . . . . . 55 3.2.4 Digression : le mouvement et le changement . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.5 Ad´ equation et compl´ etude de la m´ ethode des tableaux s´ emantiques . . 57 3.2.6 Ensembles de Hintikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 La m´ ethode analytique des s´ equents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ red-philo5.pdf