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Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres LEO KALOUJNINE Généralisation

Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres LEO KALOUJNINE Généralisation de la théorie de Galois Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 1 (1947-1948), exp. no 6, p. 1-16 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1947-1948__1__A6_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1947-1948, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » im- plique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 6-01 GÉNÉRALISATION DE LA THÉORIE DE GALOIS par Leo KALOUJNINE Faculté des Sciences de Paris .. ;., ~.. ~.. , n Séminaire A, CHATELET et P. DUBREIL et THÉORIE DES ’Année 1947/48 Exposé n° 6 Les notations sont celles de l’exposé de IAZARD C ~ ~ 9 il ne s’agit encore que de corps commuta tifs L ~ H , K , ... Les éléments des corps sont désignés par des lettres minuscules ~~ , ~ ~ .. ~ ~ a , b , x , les lettres latines étant, en principe, réservées au corps de base (ou corps des invariants) K ~ dans le cas d’une extension LJK . 1. Définitions matricielles. 1. Hypermorphismes. Un hypermorphisme, de dimension k, d’un corps (commutatif) L ~ est un isomorphisme de L avec un sous-corps L ~ de l’anneau des matrices carrées, d’ordre k ~ à termes dans L : L’ opérateur ~~‘ de l’isomorphisme peut être noté en signe de fonction, ou en s igne de multiplicateur. Les matrices || du corps L, sont permutables entre elles; sauf la matrice nulle, chacune a une inverse dans le corps; la matrice correspondant à 1 ~y (i ) ou 1.~) est la matrice scalaire unités On peut considérer que l’hypermorphisme a lie u entre les matrices scalaires ,-~ , d’ ordre k 9 et les matrices carrées c’est alors un autanor- phisme entre sous-corps de l’anneau des matrices carrées, d’ordre k ~ dans L . Un hypermorphisme de L s l’est aussi de l’extension L~ K ~ fait corres- pondre à tout élément a , de K, la matrice scalaire ( a , ’~ , 3 (ou bien encore s’il laisse invariante cette matrice scalaire). Réciproquement, l’ensemble des éléments a ~ invariants dans L ~ pour un hypermorphisme (ou, plus exactement, transformés en les matrices scalaires a ) , constituent un sous-corps K, de L, qui peut être appelé le sous- corps des invariants de 03C6 ; (de sorte que 03C6 est hypermorphisme de Lf Ces deux définitions s’étendent à un ensemble d’hypermorphismes 03C6i (i C I) . Un hypermorphisljie de dimension 1 est un automorphisme, soit de L, soit de LIK . 2. Addition. La somme de deux hypermorphismes, 03C6 , de dimension k , et 03C8 , de dimension ~,, est définie par la correspondance : C’est un hypermorphisme de dimension k + ~" ~ dont le corps des invariants est l’intersection des corps des invariants et Bf . Cette a dditi on e s t associative, a priori non commutative, il n’y a pas de soustraction. On peut noter (m entier positif) , la somme de m hypermor- phismes égaux (itération ou puissance). 3. Multiplication. Le produit de deux hypermorphismes (d’un corps L) est défini par leur succession : (i ~ j de 1 à k~ puis, pour chaque couple i ~ j : i~ ~ j’ de 1 à ~) ~ le dernier terme est une composée, ~~ dans l’anneau des matrices d’ ordre k, donc d’ordre k i, dans L. Elle est obtenue en remplaçant, dans le, matrice ) ~03B1ij~ B , correspondante de 03B1 J dans ~ ~ chaque terne par la matrice correspondante dans ~ . On peut vérifier qu’ on obtient ainsi un hypermorphisme, de dimension kl , dont le corps des invariants est l’intersection des corps des invariants et ’ . En particulier, le déterminant de la matrice composée est obtenu en calculant son déterminant dans le corps des matrices commutatives (d’ordre l) 03B1ij . 03C8, ce qui donne une matrice, d’ordre l , non nulle (si 03B1 ~ 0) , puis de calculer le déterminant de cette matrice qui est aussi non nul. La multiplication, ainsi définie, est associative ; il y a un élément neutre qui est l’hypermorphisme identique (ou automorphisme). La multiplication des hypermorphismes de dimension 1 est équivalente à celle des automorphismes corres- pondante . 4. Transposé (ou symétrique) d’ un hypermorphisme. A un hypermorphisme de dimension k , on peut associer l’hypermorphisme transposée ou symétrique 03C6* : obtenu en permutant les lignes et les colonnes dans chaque matrice image. w Il est visible que c’ est encore un hypermorphisme : la somme des transposés de daux matrices est la transposée de 1~ somme, et de même pour le produit, en tenant compte de sa commutativité. 5. Equivalence (ou congruence ) des hypermorphismes. S étant une matrice carrée, d’ordre k ~ régulière, à termes dans le corps L ~ la correspondance ~’ ’ définie par : obtenue en effectuant 1:. transmutation, d’operateur S , sur toutes les matrices images de l’hypermorphisme 03C6 est encore un hypermorphisme 03C6’ et 03C6 est déduit ~ la transmutation d’opérateur S~~ . On convient de définir équivalents, ou c.ongrus, des hypermorphismes déduits les uns des autres par des transmutations. On peut vérifier directement que : 1~ cette équivalence, ou congruence, a les qualités d’une égalité et qu’elle est compatible avec (ou laisse déterminées) l’addition et la multiplication définies ci-dessus ; 2° dans l’ensemble des hypermorphismes, définis à une équivalence, ou congruence près, liaddition est commutative ; la multiplication est distributive des deux côtés, par rapport à l’addition. Ces propriétés sont p~ut-~tre rendues plus évidentes par l’emploi des modules de représentation, ou bimodules, ce qui va faire l’objet du paragraphe suivant. 2. Bimodule s . 6. Définition Un binodule, sur un corps L, commutatif, est un ensemble d’éléments, ~ , Y , G ~ ... , appelés vecteurs, tels que . 1~ l’ensemble est un module ~’ , ou groupe abélien additif (signes + et - ) ; 2° il existe deux raultiplications, ou lois de composition externes, par les éléments de L : à droite X03B2 et à gauche 03B1X : 3° les deux multiplications sont permutables entre elles, c’est..à~.dire que : 7. Dimension d t un bimodule. Pour un bimodule 0393 (ou pour une famille de bimodules) sur L , les éléments a de L , tels que : constituent un sous-corps K de L , appelé c orps de s invariants ( ou de la famille). Si ~’ ! considéré comme espace vectoriel à droite sur L ~ est de dimension finie .: ( ~ d L) = k ~ et si L est extension de degré fini sur I~ ~ le bimodule ! ~ considéré comme espace vectoriel, à gauche, sur L ~ est de la méine dimension , (finie) 1{. Ceci, en raison de l’ valable des deux c&tés ; et du fait que le premier membre, en raison de la définition de K, a la même valeur des deux côtés, k est appelé la dimension de Î~ . 8. Hypermorphisme et bimodule. Un hypermorphisme, de dimension k d’un corps (commutatif) L , défini à une équivalence, ou congruence, près, est équivalent à la c onstruction d’un bimodule ~’ ~ de dimension k sur L , et le sous-corps K des invariants est le m~me pour l’hypermorphisme et le bimodule. Condidérons un bimodule de dimension k sur le corps L f et choisissons en une base à droite de k éléments (indépendants) ; X.. Pour tout de L , les k éléments (de 0393) sont des expressions linéaires, à droite , des X. : ou Il est visible que la correspondance ainsi réalisée : entre tout élément ~ et une matrice d’ordre k de L ~ est un hyper- morphisme; (on calcule immédiatement la somme et le produit de deux éléments et il leur correspond la somme et le produit des matrices). Tout changement de base, défini par une matrice carrée, régulière, d’ordre k ~ S ~ est équivalent à une transmutation de d’opérateur S ~ et, par quite, le remplace par un hypermorphisme équivalents Réciproquement’ considérons un hypermorphisme 03C6 d’un corps L. Pour cons- truire un bimodule prenons k vecteurs Xi , et formons l’espace vectoriel à droite isomorphe à la puissance directe L ~ ou à l’ensemble de k-uples : tant au point de vue de l’addition que de la multiplication à droite, par un élément 8 , de L . On définit ensuite la multiplication à gauche par un élément 03B1 de L , pour les k vecteurs Xi’ et, par suite pour tout vecteur X ! et On obtient bien un bimodule auquel est associa l’hypermorphisme considéré. Il est visible qu’une équivalence, ou transmutation, est équivalente à un changement de base du bimodule associe : En outre les éléments uploads/Philosophie/ seminaire-dubreil-algebre-et-theorie-des-nombres-eo-aloujnine-generalisation-de-la-theorie-de-galois.pdf