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Le formalisme mathématique bcpst 1, 27/03/2018 Figure I.1 — Extrait de Principi

Le formalisme mathématique bcpst 1, 27/03/2018 Figure I.1 — Extrait de Principia Mathematica, 1910–1913, A. North Whitehead et B. Russell Figure I.2 — Explosion d’Ariane 5, le 4 juin 1996 Les mathématiques modernes forment une science essentiellement formelle. Tout texte mathématique peut être entièrement énoncé dans un langage conventionnel, constitué d’un nombre déterminé de symboles, utilisé selon des règles précises. La vériﬁcation syntaxique d’un tel texte est donc une opération purement mécanique. Toutefois, pour des énoncés courants, une telle vériﬁcation est extrêmement fastidieuse. On se permet donc d’utiliser le langage courant, un certain nombre des symboles abréviateurs (qui représentent une opération complexe), des méthodes de calcul et de raisonnement éprouvées (intégration par parties, raisonnement par l’absurde, par I — Phrases mathématiques 2 récurrence, etc.) ainsi que des objets courants (entier, opérations usuelles, etc.) sans chercher à en expliciter complètement la déﬁnition. Il est pourtant essentiel d’avoir quelques notions de ce formalisme, qui constitue les fondements solides de la science mathématique. I — Phrases mathématiques I.1 — Énoncés On déﬁnit tout d’abord un certain nombre de symboles : – des variables, en nombre inﬁni notées x, y, z, etc. – des constantes comme 0, 1, etc. – des prédicats qui rendent compte des relations entre les variables. Par exemple « est plus petit que » qui est noté ⩽, « addition », etc. – des connecteurs logiques comme « et », « ou », etc. – et enﬁn des quantiﬁcateurs au nombre de deux : l’un « existentiel » noté ∃et l’autre « universel » ∀. I.2 — Syntaxe Ces symboles peuvent être employés selon une syntaxe précise qui est constitué à la fois de règles concernant les objets proprement mathématiques (toute parenthèse ouverte doit être fermée, le signe × doit être précédé et suivi d’un symbole, etc.), ainsi que des règles propres à la déﬁnition des objets. Exemple – « p 2 = » n’est pas syntaxiquement correcte; – « x = ln(−2) » non plus (la syntaxe du symbole ln n’est pas respectée); – « 1 + 1 = 1 » est syntaxiquement correct, quoique fausse; – « 2 est un entier pair »; – « Cette phrase est écrite avec une faute d’orthographe » (syntaxiquement correct, mais fausse — j’espère!). lim n→+∞un = 5 X 0 = 50 Pour bien travailler on doit donc penser à vériﬁer la syntaxe des énoncés : utiliser une fonction dans son domaine de déﬁnition, vériﬁer la convergence d’une suite avant d’écrire le symbole lim, etc. Beaucoup d’erreurs d’élève sont en réalité des erreurs de syntaxe. Les erreurs de raison- nement sont souvent plus subtiles et plus difciles à expliquer. II — Logique — Valeurs de vérités 3 Exercice 1 En faisant quelques calculs simples, expliquez pourquoi il est syntaxique- ment incorrect : 1. de déﬁnir un ordre parmi les nombres complexes semblable à celui qui est déﬁni sur les réels; 2. d’écrire p −1 = i ; 3. de déﬁnir la racine carrée d’un nombre complexe; 4. de parler du logarithme népérien d’un nombre complexe. Solution — 1. Si, par exemple, i ⩾0, alors i × i ⩾0, donc −1 ⩾0. 2. 2 = p 4 = p −1 p −1 p 4 = i × i × p 4 = −2. 3. p i × p i = p −1, mais cette dernière écriture ne peut être syntaxiquement correcte. 4. Par exemple eiπ/24 = 1, donc on aurait 4ln(eiπ/2) = ln(1) = 0. Or si loga- rithme est toujours la bijection réciproque de l’exponentielle, on aurait donc 0 = iπ/2. II — Logique — Valeurs de vérités II.1 — Assertion, proposition, Les notions de « Vrai » et « Faux » sont purement conventionnelles. On attribue tout d’abord à un petit nombre de propositions, nommées axiomes, la valeur de vérité «Vrai». Ces axiomes doivent vériﬁer un certain nombre de propriétés « de bon sens ». Par exemple, ils ne doivent pas se contredire entre eux, ils doivent être indépendants les uns des autres (c’est-à-dire qu’on ne peut pas déduire un axiome à partir des autres), etc Par la suite, la valeur de vérité des autres phrases mathématiques se déduit des axiomes à l’aide de règles de calcul logique que nous allons voir. Déﬁnition 2.1 — Proposition logique Une assertion ou proposition est une phrase syntaxiquement correcte et à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : « Vrai »(V) ou « Faux » (F). Il existe donc efectivement plusieurs « mathématiques » selon les axiomes de base qui sont utilisés. La théorie mathématique courante porte le nom de « théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ». Elle se caractérise par l’utilisation intensive de la notion d’ensembles. Elle a été mise au point les deux mathématiciens Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel à la ﬁn du xixe siècle et au début du xxe. On leur ajoute souvent un II — Logique — Valeurs de vérités 4 axiome supplémentaire, l’axiome du choix, encore que les discussions sur la nécessité d’ajouter cet axiome restent vives. Les termes « théorèmes », « corollaires », « propositions », « propriétés », « lemmes » dési- gnent tous des propositions établies comme vraies. L’usage veut que les résultats les plus importants soient dénommés « théorèmes », que les « corollaires » soient des consé- quences immédiats d’un théorème. Les « propriétés » sont en général des théorèmes qui énoncent des propriétés algébriques. Quand aux « lemmes », ce sont des résultats intermédiaires dans une démonstration un peu étendue. II.2 — Connecteurs logiques En partant de plusieurs propositions P, Q, etc. il est possible de construire de nouvelles propositions : non P, P ou Q, etc. Cette construction permet d’établir la véracité du résultat en fonction des valeurs de vérités des propositions de départ. II.2.1 — Négation Déﬁnition 2.2 — non Soit P une proposition logique. La proposition (non P) est une proposition syntaxiquement correcte, qui a par déﬁnition la valeur de vérité P non P V F F V II.2.2 — « et », « ou » À l’intérieur d’un raisonnement, les connecteurs logiques permettent d’envisager difé- rentes situations, selon la véracité des assertions qu’ils relient. Ils sont déﬁnis de façon à correspondre aux notions usuelles « et » et « ou ». Déﬁnition 2.3 — et, ou II — Logique — Valeurs de vérités 5 Soit P et Q deux propositions logiques. Les propositions (P et Q) et (P ou Q) sont syntaxi- quement correctes. Elles ont par déﬁnition les valeurs de vérité P Q P et Q V V V V F F F V F F F F P Q P ou Q V V V V F V F V V F F F Le connecteur « ou » correspond à un ou inclusif, c’est-à-dire qu’il suft qu’un des deux assertions soit vraie. Dans le langage courant, le ou est souvent exclusif : quand on vous propose « fromage ou dessert », vous ne pouvez peut-être pas prendre les deux... Les formules de De Morgan 1explicitent le lien entre non , et et ou . Théorème 2.4 — Formules de De Morgan 1) « non (P et Q) » à la même valeur de vérité que « (non P) ou (non Q) »; 2) « non (P ou Q) » à la même valeur de vérité que « (non P) et (non Q) ». Dém. On dresse les tables des vérités des diférentes propositions. □ Exemple – La négation de « la voiture est bleue ou c’est une Renault » et celle de « mon animal de compagnie est un chien ou un chat ». – Donner la négation, pour x ∈R, de 3 ⩽x ⩽7. – Donner la négation, pour x ∈R, de 3 ⩽x ⩽−7. – Donner la négation, pour (x, y) ∈R2, de Théorème 2.6 — Commutativité, associativité, distributivité Soit P, Q et R trois propositions. • associativitéde«et»: P et (Q et R) = (P et Q) et Rnotésimplement« P et Q et R»; • associativitéde«ou»: P ou (Q ou R) = (P ou Q) ou Rnotésimplement« P ou Q ou R»; • distributivité de « et » sur « ou » : P et (Q ou R) = (P et Q) ou (P et R) • distributivité de « ou » sur « et » : P ou (Q et R) = (P ou Q) et (P ou R) 1. Auguste De Morgan (27 juin 1806 à Madurai (Tamil Nadu) - 18 mars 1871) est un mathématicien et logicien britannique, né en Inde. Il fût un excellent professeur, et le fondateur avec Boole de la logique moderne. II — Logique — Valeurs de vérités 6 II.2.3 — Implication La plupart des théorèmes mathématiques s’écrivent sous la forme d’une implication : « Si (tels et tels objets ont telles et telles propriétés) alors (Q est vrai) ». Exemple Dans « Soit a et b deux réels. Si a2 + b2 = 0 alors a = 0 et b = 0. » il y a trois hypothèses! (Lesquelles?) En mathématiques, l’assertion P uploads/Philosophie/ bcpst1-cours-logique.pdf