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JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau 1 CIRCUIT MA

JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau 1 CIRCUIT MAGNETIQUE à Noyau de Fer 1°) Loi fondamentale i φ Le flux, de vecteur φ, est conservatif dans tout le tube d’induction. Théorème d’ampère : la circulation de l’excitation magnétique H, le long d’un contour fermé C, est égale à la somme algébrique des courants enlacés par C. ∑ ∫ = i dl . H c ξ= Σi est appelé : force magnétomotrice (FMM). 2°) Caractéristique du matériau : la Réluctance R Pour une portion de tube d’induction, de section S, de longueur l, de perméabilité µ, on appelle Réluctance R: µ est définie par rapport à la perméabilité de l’air : µ = µ0 . µr ou : µ0 = 4.π.10-7 S . µ = ℜ l 3°) Loi d’OPKINSON La force magnétomotrice ξ est lié au flux magnétique φ circulant dans le tube d’induction par la réluctance totale R de ce dernier : ξ = R. φ Exemple : Soit un tube d’induction constitué d’un matériau unique : le modèle équivalent est le suivant : 4°) loi d’induction (loi de FARADAY) Soit un tube d’induction parfait : ne comportant pas de flux magnétique de fuite (φf). Ce tube est enlacé par un nombre n de spires d’un conducteur électrique parfait (r = 0). Il existe une relation entre le flux φ circulant dans le tube d’induction et la force électromotrice e aux bornes du conducteur électrique telle que : S1, l1 i S2, l2 R2 R1 φ ξ = n.i = (R1+ R2). φ ξ = n.i dt d . n e φ = φ i e Convention récepteur φ i e dt d . n e φ − = Convention générateur JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau 2 5°) Caractéristiques magnétiques d’un noyau de fer : a) Relation φ = f(B) entre le flux magnétique φ circulant dans le tube et l’induction magnétique B : → → ∫∫ = φ s d . B s Dans une portion de circuit magnétique à noyau de fer la section est constante ; on en déduit : S . B = φ b) B = f(H) d’un circuit magnétique dont le matériau est du fer : Excitation coercitive Relation réelle : cycle d’hystérésis Induction rémanente B H Relation idéalisée Saturation Bmax H Pente : µ B Dans la partie linéaire B = µ.H c) φ = f(i) d’un circuit magnétique dont le matériau est du fer : Cette relation est identique à celle citée ci-dessus, car φ est proportionnel à B (φ = B.S), et i est proportionnel à H ( n . H i l = ). Relation réelle : cycle d’hystérésis φ i Relation idéalisée Saturation φmax i Pente : n L φ On définit de cette relation l’inductance L qu’il existe aux bornes des spires de nombre n : di d . n L φ = Dans le domaine de saturation la valeur de l’inductance L est nulle. On en déduit une relation entre l’inductance L et la réluctance totale du circuit magnétique R : Sachant que , donc , alors i . n . = φ ℜ i . n . . n 2 = φ ℜ L n i . n 2 = ℜ = φ . ℜ = 2 n L JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau 3 d) Energie emmagasinée dans un circuit magnétique W: Par définition l’énergie stockée est : ; or la puissance instantanée reçue : dt . p dw = dt di . i . L dt d . n . i e . i p = φ = = ; donc : ; on en déduit : di . i . L dw = 2 I 0 I . L . 2 1 di . i . L w ∫ = = 2 I . L . 2 1 w = Sachant que, dans le domaine linéaire, I . n L φ = , on en déduit: I . . n . 2 1 w φ = Sachant que : l S . . n n L 2 2 µ = ℜ = , on en déduit une autre expression : v . H . B . 2 1 . H . v . 2 1 . I . n . . S . 2 1 I . S . . n . 2 1 w 2 2 2 2 2 2 = µ = µ = µ = l l l v . H . B . 2 1 w = e) force d’attraction F : F entrefer S : section e i φ Par définition : (e est la longueur de l’entrefer, et w l’énergie dans l’entrefer) avec de . F dw = e . S . 0 B . B . 2 1 v . H . B . 2 1 w µ = = Donc : 0 S . B . 2 1 de dw F 2 µ = = 0 S . B . 2 1 F 2 µ = 2°) Source d’alimentation sinusoïdale a) Equation générale exprimant la tension d’entrée u aux bornes des spires enlaçant un noyau de fer, en fonction de toutes les grandeurs électromagnétiques : i, φf, φ. Le flux total φt circulant à l’intérieur des spires se sépare pour circuler dans deux matériaux différents : le flux principal φ qui circule dans le noyau de fer, et le flux de fuite φf qui circule dans l’air ambiant. Ce dernier est de très faible valeur par rapport au premier. On en déduit l’équation suivant : dt d . n dt . n di . . n i . r dt d . n dt d . n i . r dt d . n i . r u f f t φ + + = φ + φ + = φ + = l donc : dt d . n dt di . i . r u f φ + + = l φt φf i φ u L’inductance lf est appelée inductance de fuite car elle est relative au flux de fuite. b) formule de BOUCHEROT Par hypothèse on néglige : l’influence de la résistance r des enroulements (r.i = 0), ainsi que l’influence de l’inductance de fuite l ( 0 dt di . = l ). Donc : dt d . n u φ = La tension d’entrée u est sinusoïdale : t sin . 2 . U u eff ω = t sin . n 2 . U n u dt d eff ω = = φ ; donc : ) 2 t sin( . . n 2 . Ueff π − ω ω = φ u φ On constate que : - le flux est sinusoïdal - le flux est en quadrature arrière par rapport à la tension u - le flux dépend de la tension u, mais pas du courant i On en déduit : ω = φ . n 2 . Ueff max ; donc : 44 , 4 . f . n . 2 . 2 . f . n . 2 . n . U max max max eff φ = π φ = ω φ = 44 , 4 . f . n . S . B U max eff = JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau 4 c) Pertes ferromagnétiques : Puissance électromagnétique convertie en puissance calorifique. - Les pertes fer par hystérésis PfH sont proportionnelles à l’aire du cycle d’hystérésis de la relation B=f(H) et à la fréquence f du flux magnétique : ou K est un coefficient de proportionnalité. f . B . K Pf 2 max H = - Les pertes fer par courant de Foucault Pfcf sont des pertes par effet joule, dues aux courants induits par le flux magnétique et circulant dans le fer. Pour atténuer ces pertes on réalise le circuit magnétique par des tôles de faible épaisseur, isolées électriquement entre elles. . Le coefficient K’ est proportionnel au carré de l’épaisseur des tôles. 2 2 max ' cf f . B . K Pf = d) Schéma du modèle équivalent électrique d’un circuit magnétique à noyau de fer, aux bornes du bobinage alimenté par une source de tension sinusoïdale. Comme il a été démontré dans le paragraphe ‘formule de Boucherot’, le flux φ est sinusoïdal et en quadrature arrière avec la tension u ; or le courant magnétisant ir est en phase avec le flux ; donc ir (courant réactif) est en quadrature arrière avec la tension u. Le modèle est une inductance ℜ = φ = 2 n di d . n L . Ce modèle est appelé modèle équivalent au premier harmonique, car le courant magnétisant ir n’est pas linéaire avec le flux magnétique φ à cause de la saturation magnétique du fer. On constate que de l’énergie active (chaleur) est consommée en raison des pertes fer (PfH + Pfcf) : le modèle uploads/Politique/ magnetism-e.pdf