c ⃝Christophe Bertault - MPSI Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre, I, J .

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre, I, J . . . sont des intervalles de R. On appellera adhérence de I et on notera I l’intervalle I augmenté de ses bornes, qui éventuellement ne lui appartiennent pas. Par exemple, [0, 1[ = [0, 1] et ]0, ∞[ = [0, ∞]. Quand on écrira « Soit f = (x, y) : I − →R2 une application », cela signifiera que f est une fonction définie sur I à valeurs dans R2 donnée avec ses coordonnées, de sorte que pour tout t ∈I : f(t) = x(t), y(t)
. 1 Préliminaires sur les fonctions de R dans R2    Explication Comment représenter graphiquement une fonction de R dans R2 ? On représente les fonctions de R dans R comme des courbes au moyen d’un axe R en abscisse et d’un axe R ordonnée. On représente les fonctions de R2 dans R comme des surfaces au moyen d’un plan R2 en abscisse et d’un axe R en ordonnée. De la même manière, on peut représenter les fonctions de R dans R2 comme des courbes au moyen d’un axe R en abscisse et d’un plan R2 en ordonnée. x y y = cos(4x) x2 + x + 1 Fonction de R dans R x y z z = sin x Fonction de R2 dans R x y t  x = cos t y = sin t Fonction de R dans R2 Pourtant, ce n’est pas ainsi que nous allons aborder graphiquement les fonctions de R dans R2. La fonction f : t 7− →(cos t, sin t) représentée ci-dessus comme une courbe de l’espace, en l’oc- currence une spirale, est aussi la fonction que nous avons utilisée pour paramétrer le cercle trigonométrique. Pour tout point M = (x, y) ∈R2 : M appartient au cercle trigonométrique ⇐ ⇒ x2 + y2 = 1 ⇐ ⇒ ∃t ∈R/ M = f(t). La même fonction qu’on a représentée ci-dessus comme une spirale est ici représentée par un cercle que l’on envisage comme la trajectoire d’un point. C’est ce point de vue précisément que nous allons adopter dans tout ce chapitre. x y b b b b f(0) f π 4  f 2π 3  f π 2  Définition (Limite d’une fonction de R dans R2) Soient f : I − →R2 une fonction, a ∈I et ℓ∈R2. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) lim t→a f(t) −ℓ = 0 (ii) lim t→a x(t) = ℓx et lim t→a y(t) = ℓy. On dit dans ce cas que f admet ℓpour limite en a. On peut montrer que, si elle existe, la limite de f en a est unique. On la note alors lim a f ou lim t→a f(t). On utilise aussi souvent la notation suivante : f(t) − → t→a ℓ ou f − → a ℓ.    Explication La limite « lim t→a f(t) = ℓ» est un nouveau type de limites : limite d’une fonction à valeurs dans R2. La fonction t 7− → f(t)−ℓ en revanche est définie sur I et à valeurs dans R, donc la limite « lim t→a f(t) −ℓ = 0 » est une limite au sens le plus banal du terme, et signifie simplement que la distance entre les points f(t) et ℓtend vers 0 lorsque t tend vers a. b ℓ ℓx ℓy b f(t) x(t) y(t) $ $ $ Attention ! Cette définition ne prévoit pas le cas des limites ±∞— quel sens aurait la quantité f(t) −ℓ pour ℓ= ±∞? Ce n’est pas très choquant car de toute façon, où donc serait situé l’infini dans le plan R2 ? 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Démonstration (i) = ⇒(ii) Pour tout t ∈I : 0 ⩽|x(t) −ℓx| = qx(t) −ℓx
2 ⩽ qx(t) −ℓx
2 + y(t) −ℓy
2 = f(t) −ℓ . Or lim t→a f(t) −ℓ = 0 par hypothèse, donc lim t→a |x(t) −ℓx| = 0 d’après le théorème des gendarmes, i.e. lim t→a x(t) = ℓx. On procède de même pour lim t→a y(t). (ii) = ⇒(i) Par hypothèse lim a x(t) −ℓx
= 0, donc lim a x(t) −ℓx
2 = 0. De même, lim a y(t) −ℓy
2 = 0. Du coup, par somme et composition avec la fonction racine carrée, lim t→a f(t) −ℓ = 0 comme voulu. ■ Exemple lim t→0 sin t t , et  = (1, 1) car lim t→0 sin t t = lim t→0 sin t −sin 0 t −0 = sin′(0) = cos 0 = 1 et lim t→0 et = 1. Définition (Fonction continue/dérivable de R dans R2) Soit f = (x, y) : I − →R2 une fonction. • Soit a ∈I. On dit que f est continue en a si lim t→a f(t) = f(a), ce qui revient à dire que lim t→a x(t) = x(a) et lim t→a y(t) = y(a), ou encore que x et y sont continues en a. • Soit a ∈I. On dit que f est dérivable en a si lim t→a f(t) −f(a) t −a existe, ce qui revient à dire que lim t→a x(t) −x(a) t −a et lim t→a y(t) −y(a) t −a existent et sont finies, ou encore que x et y sont dérivables en a. On appelle alors nombre dérivé de f en a, noté f ′(a), le vecteur f ′(a) = lim t→a f(t) −f(a) t −a = x′(a), y′(a)
. • On dit que f est continue sur I (resp. dérivable sur I) si f l’est en tout point de I. Dans le cas des fonctions dérivables, la fonction f ′ :  I − → R2 t 7− → f ′(t) est appelée la dérivée de f sur I. L’ensemble des fonctions de I dans R2 continues (resp. dérivables) sur I est noté C(I, R2) (resp. D(I, R2)). Exemple La fonction t 7− → et2, sin t
est définie et dérivable sur R de dérivée t 7− → 2tet2, cos t
. En effet Les fonctions t 7− →et2 et t 7− →sin t sont dérivables sur R de dérivées t 7− →2tet2 et t 7− →cos t. Exemple Les fonctions − → u : θ 7− →− → u θ et − → v : θ 7− →− → v θ sont dérivables sur R et : − → u ′ = − → v et − → v ′ = −− → u . La variable des fonctions − → u et − → v étant par convention notée θ, on peut aussi écrire les choses ainsi : d− → u dθ = − → v et d− → v dθ = −− → u . En effet Pour tout θ ∈R : − → u θ = cos θ − → ı +sin θ − → = (cos θ, sin θ) et − → v θ = −sin θ − → ı +cos θ − → = (−sin θ, cos θ). Les fonctions coordonnées de − → u et − → v sont bien dérivables sur R et ensuite il suffit de dériver. Théorème (La dérivabilité implique la continuité) Soient f : I − →R2 une fonction et a ∈I. Si f est dérivable en a (resp. sur I), alors f est continue en a (resp. sur I). Définition (Dérivées successives d’une fonction de R dans R2) Soit f : I − →R2 une fonction. On définit les dérivées successives de f, si elles existent, au moyen d’une récurrence. On commence par poser f (0) = f. Ensuite, pour tout k ∈N, si on a réussi à définir f (k) sur I au cours des étapes précédentes et si f (k) est dérivable sur I, on pose f (k+1) = f (k)
′. Pour tout k ∈N, la fonction f (k) ainsi (éventuellement) définie est appelée la dérivée kème de f et l’on dit alors que f est k fois dérivable sur I. On note généralement f, f ′, f ′′ et f ′′′ plutôt que f (0), f (1), f (2) et f (3) respectivement. Lorsque, par convention, on a fixé une notation pour la variable de f, disons □, on note parfois dkf d□k la fonction f (k). Exemple La fonction f : t 7− →(e2t, sin t) est deux fois dérivable sur R de dérivée première la fonction f ′ : t 7− →(2e2t, cos t) et de dérivée seconde f ′′ : t 7− →(4e2t, −sin t). 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Définition (Fonction de classe Ck de R dans R ou R2) Soit f : I − →R (resp. R2) une fonction. • Pour tout k ∈N, on dit que f est de classe Ck sur I si f est k fois dérivable sur I et si f (k) est continue sur I. L’ensemble des fonctions de I dans R (resp. R2) de classe Ck sur I est uploads/Religion/ cours-courbes-parametrees-8.pdf

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• Détails
• Publié le Dec 02, 2022
• Catégorie Religion
• Langue French
• Taille du fichier 0.3719MB