c ⃝Christophe Bertault - MPSI Etude métrique des courbes planes Dans tout ce ch
c ⃝Christophe Bertault - MPSI Etude métrique des courbes planes Dans tout ce chapitre, a et b sont deux réels et I, J . . . sont des intervalles de R et k ∈N× ∪ ∞ . Quand on notera [a, b], il sera sous-entendu que a ⩽b. Le plan R2 est muni de sa structure euclidienne et de son orientation canoniques ; sa base canonique est notée (⃗ ı,⃗ ). 1 Longueur et abscisse curviligne 1.1 Paramétrages admissibles et orientation Définition (Ck-difféomorphisme) Soit ϕ : I − →J une application. On dit que ϕ est un Ck-difféomorphisme de I sur J si : • ϕ est bijective de I sur J ; • ϕ est de classe Ck sur I ; • ϕ−1 est de classe Ck sur J. En pratique Etant donné le théorème de dérivabilité des fonctions réciproques, dire que ϕ est un Ck-difféomorphisme de I sur J revient à dire que ϕ est de classe Ck sur I, que ϕ′ ne s’annule pas sur I et que J = f(I). Théorème (Stricte monotonie des Ck-difféomorphismes) Soit ϕ un Ck-difféomorphisme de I sur J. Alors ϕ est strictement monotone sur I. Démonstration Conformément à la remarque précédente, ϕ′ ne s’annule pas sur I. Or ϕ ∈C1(I, R), donc ϕ′ est continue sur I. Du coup, via le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ′ est soit strictement positive sur I, soit strictement négative sur I, et donc ϕ est strictement monotone sur I. ■ Exemple La fonction exponentielle est un C∞-difféomorphisme de R sur R× + ; la fonction logarithme est un C∞-difféomorphisme de R× + sur R ; la fonction carrée est un C∞-difféomorphisme de R× + sur R× + ; etc. Définition (Paramétrage admissible de classe Ck d’une courbe paramétrée) Soient f ∈Ck(I, R2) et g ∈Ck(J, R2) deux courbes paramétrées. On dit que g est un paramétrage admissible de classe Ck de f s’il existe un Ck-difféomorphisme ϕ de I sur J tel que f = g ◦ϕ. Une telle application ϕ est appelée un changement de paramétrage de classe Ck. Les courbes paramétrées f et g ont alors nécessairement le même support. Démonstration Soit M ∈R2. Le point M peut être décrit de deux façons : au moyen de f et au moyen de g. M appartient au support de f ⇐ ⇒ ∃t ∈I/ M = f(t) ⇐ ⇒ ∃t ∈I/ M = g ◦ϕ(t) ⇐ ⇒ ∃u ∈J/ M = g(u) ⇐ ⇒ M appartient au support de g. Comme voulu, f et g ont le même support. b M M est à la fois un « f(t) » et un « g(u) ». ■ Explication • Partons de l’exemple de la courbe paramétrée f : t 7− →(cos t, sin t) définie sur R. Le support de f est le cercle trigonomé- trique n (x, y) ∈R2/ x2 + y2 = 1 o . Or ce cercle peut être décrit de de multiples façons, plus ou moins vite, dans un sens ou dans l’autre. Mathématiquement, cela revient à dire qu’on peut le paramétrer de plusieurs façons ; par exemple, par les courbes paramétrées : 1) g : t 7− →(cos t, −sin t) (cercle décrit à vitesse constante dans le sens des aiguilles d’une montre) ; 2) h : t 7− → cos(t3 + t), sin(t3 + t) (cercle décrit à vitesse croissante dans le sens trigonométrique). La courbe paramétrée f est un paramétrage admissible des courbes g et h associé aux changements de paramétrages respectifs ϕ : t 7− →−t et ψ : t 7− →t3 + t. On a en effet : g = f ◦ϕ et h = f ◦ψ. 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI • Pourquoi exigeons-nous du changement de paramétrage ϕ qu’il soit un difféomorphisme, et donc strictement monotone ? Réponse : pour que le support commun de f et g soit parcouru « de la même façon », notamment le même nombre de fois. Prenons l’exemple de la courbe paramétrée f : t 7− →(t, 0) définie sur [−1, 1], dont le support est le segment [−1, 1] × 0 . Introduisons alors deux nouvelles courbes paramétrées : b b b b f et g h 1) g : t 7− →(2t −1, 0) définie sur [0, 1] ; 2) h : t 7− →(sin t, 0) définie sur R. Ces deux courbes paramétrées g et h ont le même support que f. Mais plus précisément, g est un paramétrage admissible de f associé au changement de paramétrage ϕ : t 7− →2t −1 ; géométriquement, les courbes f et g décrivent le segment [−1, 1]× 0 de la même façon. Au contraire, h n’est pas un paramétrage admissible de f ; on le comprend géométriquement si l’on remarque que h décrit le segment [−1, 1] × 0 une infinité de fois en faisant des allers-retours, alors que f ne le décrit qu’une seule fois sans aucun retour en arrière. Pour justifier que h n’est pas un paramétrage admissible de f, supposons par l’absurde que ψ : [0, 1] − →R est un changement de paramétrage associé, de sorte que f = h◦ψ. Alors t = sin ψ(t) pour tout t ∈[−1, 1], donc ψ′(t) cos ψ(t) = 1. Mais ψ est censée être strictement monotone, donc ψ′ a un signe constant sur [0, 1], donc cos ◦ψ aussi. Or l’image de ψ est R tout entier, donc celle de cos ◦ψ est [−1, 1], à cheval sur R+ et R−. Contradiction. • Comme on vient de le voir, un même ensemble de points peut être décrit par différentes courbes paramétrées, et ce de différentes façons. Ce chapitre repose entièrement sur le principe suivant, comme vous pourrez l’observer bientôt : Les « vraies » propriétés d’une courbe sont celles qui ne dépendent pas du paramétrage choisi, i.e. celles qui sont conservées par changement de paramétrage. Ce principe signifie qu’en un sens, on pourra considérer que deux courbes paramétrées dont l’une est un paramétrage admissible de l’autre sont « identiques » : elles décrivent le même ensemble de point (leur support) dans le même sens et le même nombre de fois ; seule les différences cinématiques sont autorisées (vitesses et accélérations différentes). Définition (Orientation d’une courbe paramétrée) • On définit sur l’ensemble des courbes paramétrées de classe Ck une relation « avoir la même orientation que » de la façon suivante : Une courbe paramétrée f ∈Ck(I, R2) a la même orientation qu’une courbe paramétrée g ∈Ck(J, R2) s’il existe un changement de paramétrage croissant ϕ : I − →J tel que f = g ◦ϕ. • La relation « avoir la même orientation que » est réflexive, symétrique et transitive. Il y a exactement deux orientations possibles : si f n’a pas la même orientation que g et h, alors g et h ont la même orientation. • Considérer qu’une courbe paramétrée f ∈Ck(I, R2) est orientée, c’est ne s’autoriser que des changements de paramé- trages croissants pour l’étude de f. Explication Convenons de noter d’une flèche l’orientation des courbes paramétrées, dans le sens des pa- ramètres croissants. Reprenons alors les notations « f = g ◦ϕ » de la définition. Notons en outre t la variable de f et u celle de t ; ces variables sont liées par la relation u = ϕ(t). • Si ϕ est croissant, alors t et u croissent simultanément, ce qui signifie que le sens des paramètres croissants est le même pour f et g ; en résumé, f et g ont la même orientation. • Si au contraire ϕ est décroissant, alors u décroît lorsque t croît ; cela signifie que le sens des paramètres croissants de g est l’opposé de celui de f, autrement dit que f et g n’ont pas la même orientation. Démonstration Soient f ∈Ck(I, R2), g ∈Ck(J, R2) et h ∈Ck(K, R2). • Réflexivité : L’identité IdI est un Ck-difféomorphisme croissant de I sur lui-même et f = f ◦IdI. Ainsi f et f ont la même orientation. • Symétrie : Faisons l’hypothèse que f a la même orientation que g. Si ϕ est un Ck-difféomorphisme croissant de I sur J tel que f = g ◦ϕ, alors ϕ−1 est un Ck-difféomorphisme croissant de J sur I tel que g = f ◦ϕ−1. Ainsi g a la même orientation que f. • Transitivité : Faisons l’hypothèse que f a la même orientation que g, et g la même que h. Si ϕ est un Ck-difféomorphisme croissant de I sur J tel que f = g ◦ϕ et si ψ est un Ck-difféomorphisme croissant de J sur K tel que g = h ◦ψ, alors ψ ◦ϕ est un Ck-difféomorphisme croissant de I sur K tel que f = h ◦(ψ ◦ϕ). Ainsi f a la même orientation que h. 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI • Montrons qu’il n’y a que deux orientations possibles d’une courbe paramétrée. Supposons uploads/Religion/ etude-metrique-des-courbes-planes.pdf
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- Publié le Oct 26, 2021
- Catégorie Religion
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