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Cours de probabilité SEG S2 Mohamed BELAM Février 2020 Faculté Polydisciplinair

Cours de probabilité SEG S2 Mohamed BELAM Février 2020 Faculté Polydisciplinaire de Khouribga Université Sultan Moulay Slimane Plan 1. Prérequis - Dénombrement - Théorie des ensembles 2. Introduction au calcul des probabilités 3. Probabilités conditionnelles 4. Variables aléatoires et lois de probabilités 5. Lois usuelles 1 Prérequis - Dénombrement - Théorie des ensembles 1) Dénombrement. Analyse combinatoire 1.1. Principe multiplicatif Propostion Soit E une expérience qui comporte 2 étapes : la 1` ere a p résultats possibles et la 2` eme a q résultats. Alors l’expérience a p × q résultats possibles. Exemples 1. On jette un dé 3 fois successives. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? 2. Une urne contient (1R, 1B, 1N, 1V) . On eﬀectue 2 tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? 2 Propostion Si une expérience E consiste à répéter n fois de façon indépendante une même expérience E0 qui a p résultats possibles, alors le nombre de résultats de E est : pn = p × p × · · · × p | {z } n fois 3 1.2. Permutations sans répétitions Déﬁnition Si Pn est le nombre de permutations de n éléments alors : Pn = n! Exemples 1. On a 3 lettres a, b, c; les permutations sont les sous-ensembles ordonnés de {a, b, c}. 2. De combien de manière peut-on classer 4 individus ? 3. Une maîtresse de maison doit placer 6 personnes autour d’une table ronde. Combien a-t-elle de possibilités ? 4 1.3. Les arrangements sans répétition Déﬁnition Un arrangement de p éléments parmi n est une disposition ordonnée sans répétition de p éléments. (une façon de ranger p éléments pris parmi n en tenant compte de l’ordre) Propostion Le nombre d’arrangement de p éléments parmi n est : Ap n = n! (n −p)! 5 Exemples 1. Pour accéder à une banque de données, il faut 4 lettres diﬀérentes. Combien de mots de passe peut-on avoir ? 2. 12 candidats se présentent aux élections d’un conseil d’administration comportant 8 places diﬀérentes. Combien y-a-t-il de listes possibles ? 6 Exemples 1. Pour accéder à une banque de données, il faut 4 lettres diﬀérentes. Combien de mots de passe peut-on avoir ? 2. 12 candidats se présentent aux élections d’un conseil d’administration comportant 8 places diﬀérentes. Combien y-a-t-il de listes possibles ? Remarque Qu’est-ce qu’un arrangement avec répétition de p éléments parmi n ? 6 Exemples 1. Pour accéder à une banque de données, il faut 4 lettres diﬀérentes. Combien de mots de passe peut-on avoir ? 2. 12 candidats se présentent aux élections d’un conseil d’administration comportant 8 places diﬀérentes. Combien y-a-t-il de listes possibles ? Remarque Qu’est-ce qu’un arrangement avec répétition de p éléments parmi n ? C’est une disposition ordonnée de p éléments parmi n avec autant de répétition que l’on souhaite. Le nombre d’arrangements avec répétition est de np. 6 Exemple Un code PIN est composé de 4 chifres. Combien de codes peut-on former? 7 1.4. Combinaisons sans répétitions Déﬁnition Une combinaison de p éléments parmi n est une disposition non ordonnée de p éléments parmi n. (sous ensembles de p éléments parmi n ) Remarque • Arrangement : on tient compte de l’ordre • Combinaison : on ne tient pas compte de l’ordre. 8 Propostion Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est : C p n = n! (n −p)!p! Exemple Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire 2 boules simultanément. Combien peut-on avoir de possibilitées? Remarque On tire p boules parmi n : • Simultanément = ⇒C p n . • Successivement sans remise = ⇒Ap n. • Successivement avec remise = ⇒np. 9 Exemples 1. Pour accéder à une banque de données, il faut 4 lettres. Combien de mots de passe peut-on avoir ? 2. 12 candidats se présentent aux élections d’un conseil d’administration comportant 8 places diﬀérentes. Combien y-a-t-il de listes possibles ? 10 Propriétés ∗C 0 n = C n n = 1 ; C k n = C n−k n ; ∀n ∈N∗; ∀k ⩽n ∗C k n+1 = C k−1 n +C k n ∀n ∈N∗; ∀k tq 1 ⩽k ⩽n ∗ (a + b)n = n X k=0 C k n akbn−k ; ∀n ∈N (formule du binôme) 11 2) Généralités sur les ensembles 2.1. Déﬁnitions et propriétés Déﬁnition • Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. • L’ensemble vide ne contient aucun élément : ∅. Déﬁnition Soit Ωun ensemble. Un ensemble A est un sous ensemble de Ωou une partie de si : ∀x ∈A, x ∈Ω. L’ensemble des parties de est notée P (Ω) . Exemple Ω= {a, b, c} , P (Ω) =? 12 Soient Ωun ensemble, A, B ∈P (Ω) • Appartenance : x ∈Ω: x un élément de Ω. Le cas contraire : x / ∈Ω. • Inclusion : A ⊂B ⇐ ⇒∀x ∈A, x ∈B. Le cas contraire : A ⊈B. • Complémentaire (Ac ou A) : x ∈A ⇐ ⇒x / ∈A. • Union A ∪B : x ∈A ∪B ⇐ ⇒x ∈A ou x ∈B. • Intersection : A ∩B : x ∈A ∩B ⇐ ⇒x ∈A et x ∈B. • Diﬀérence : A ∖B = A ∩B : x ∈A ∖B ⇐ ⇒x ∈A et x / ∈B. Remarque ∗A ∪A = A ∗A ∩A = A ∗A ∪∅= A ∗A ∩∅= ∅ ∗si A ⊂B alors A ∪B = B ∗si A ⊂B alors A ∩B = A 13 Déﬁnition On dit que A et B sont disjoints si et ssi A ∩B = ∅. Déﬁnition Soient Ai ∈P (Ω) , i = 1, ..., n. On dit que la famille {Ai}i=1,...,n. forment une partition de Ωsi et ssi : 1) n [ i=1 Ai = Ω ; 2) Ai ∩Aj = ∅∀i ̸= j. 14 Propriétés ∗A ∪B = B ∪A ∗A ∩B = B ∩A ∗A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C) ∗A ∩B = A ∪B ∗A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) ∗ A ∪B = A ∩B 15 2.2. Notion de cardinal Soit Ωun ensemble ﬁni. Déﬁnition Pour tout A ∈P (Ω) , A a également un nombre ﬁni d’éléments. Le cardinal de A est le nombre d’éléments de A. On le note : card (A) . Propriétés • card A = card (Ω) −card (A) • card (A ∪B) = card (A) + card (B) −card (A ∩B) • card (A ∖B) = card (A) −card (A ∩B) • card (∅) = 0 16 Introduction au calcul des probabilités 1) Expérience aléatoire Déﬁnition Une expérience aléatoire est une action qui débouche sur plusieurs résultats possibles qu’on ne peut pas prévoir par avance. Ces résultas sont appelés éventualités ou évènements élémentaires. Déﬁnition L’ensemble de toutes les éventualités est appelé univers, noté : Ω. Un évènement A est un ensemble d’éventualités, c’est donc aussi une partie de l’univers Ω. (A ∈P (Ω)) . 17 2) Du langage ensembliste à celui des évènements Vocab. ensembliste Vocabulaire probabiliste élément ω éventualité ω sous-ensembe A évènement A ∅ l’évènement impossible A ∪B A ou B est réalisé A ∩B A et B sont réalisés Ac A l’évènement contraire A ∖B = A ∩B A et B réalisés : A réalisé et B non réalisé A ∩B = ∅ A et B sont incompatibles A ⊂B A implique B 18 Exemple On jette un dé. exp aléatoire? univers Ω? éventualités ? On considère : ∗A l’évènement : tomber sur un nombre impair : A =? ∗B l’évènement : tomber sur un un nombre ⩽4 : B =? ∗C l’évènement : tomber sur le nombre 6 : C =? ∗D = A ∩B : D =? ∗E l’évènement : tomber sur le nombre 7 : E =? De plus on on a : ∗A est l’évènement réalisé quand A ne l’est pas : A =? ∗A ∪B =?; A ∖B =?; B ∖A =?; C ⊂A; A ∩C =? ∗A, C et D forment une partition de Ω. 19 3) Probabilités sur un ensemble ﬁni Déﬁnition soit Ωﬁni,dont les évènements élémentaires sont équiprobables. P(A) = cardA cardΩ= Nbre de cas favorables Nbre de cas possibles 20 Exemples 1. Une urne contient (1B, 1N) . On fait 2 tirages avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir 2 Noires ? 2. Soit une urne contenant (2V , 3B) . a) On eﬀectue 2 tirages sans remise, calculer la probabilité d’avoir 2V exactement, 2B exactement, 1V et 1B. b) même question avec tirage avec remise. Propriétés 1. P(A) + P(A) = 1, ∀A ∈P(Ω). 2. P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B), ∀A, B ∈P(Ω). 3. A ⊂B = ⇒P(A) ≤P(B). 4. P(Ω) = 1, P(∅) = 0. 21 4) Déﬁnition axiomatique Si Ωest inﬁni, la déﬁnition précédente n’est plus valable. Les fondements de la probabilité mathématique sont dus à Kolmogorov (1903-1987) en 1933. Déﬁnition Soit Ωun ensemble ﬁni ou inﬁni dénombrable. On appelle loi de probabilité sur Ωune application P de P (Ω) dans [0; uploads/Religion/ cours-probabilites-seg-s2.pdf