PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de
PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé TP 1 — Corrigé Formalisation et le diagramme d’arbre 1 Dans le tiroir il y a trois paires de chaussures de couleurs différentes. Il faut tout d’abord dénombrer le nombre de cas possibles lorsque l’on tire deux chaussures au hasard. On utilise la notation suivante: • G1: Chaussure gauche de la première paire de chaussure; • G2: Chaussure gauche de la deuxième paire de chaussure; • G3: Chaussure gauche de la troisième paire de chaussure; • D1: Chaussure droite de la première paire de chaussure; • D2: Chaussure droite de la deuxième paire de chaussure; • D3: Chaussure droite de la troisième paire de chaussure. Tous les cas possibles sont: • (G1 D1), (G1 D2), (G1 D3), (G1 G2), (G1 G3), • (G2 D1), (G2 D2), (G2 D3), (G2 G3), • (G3 D1), (G3 D2), (G3 D3), • (D1 D2), (D1 D3), • (D2 D3). Il y a en tout 15 cas possibles. Note: Les deux événements A et B ne tiennent pas en compte l’ordre dans lequel on tire les chaussures (événement A: ‘appartenir à la même paire’ et événement B: ‘il y a un pied droit et un pied gauche’). On compte donc pour simplifier l’ensemble fondamental sans prendre l’ordre en compte1. Par exemple, tirer G1 puis D1 est le même événement que tirer D1 puis G1, noté (G1 D1). 1Cependant, il est tout à fait correct de dénombrer l’ensemble fondamental en prenant l’ordre en compte, seulement ce n’est pas nécessaire dans ce cas précis pour identifier les événements A et B. 1 PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé Pour calculer la probabilité des événements A et B, comme tous les éléments de notre ensemble fondamental sont équiprobables, on utilise: P(A) = Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles = CF CP. On compte le nombre de cas favorables correspondant à chaque événement: • Evénement A ‘appartenir à la même paire’: (G1 D1), (G2 D2), (G3 D3); 3 cas favorables; • Evénement B ‘il y a un pied droit et un pied gauche’: (G1 D1), (G1 D2), (G1 D3), (G2 D1), (G2 D2), (G2 D3), (G3 D1), (G3 D2), (G3 D3); 9 cas favorables. Donc P(A) = CF CP = 3 15 = 1 5; P(B) = CF CP = 9 15 = 3 5. 2 Soit A un dé dont les faces affichent les valeurs 2, 2, 4, 4, 9, 9. Soit B un dé dont les faces affichent les valeurs 1, 1, 6, 6, 8, 8. On lance les deux dés. 1. Ecrivez l’ensemble fondamental. S = {(2; 1), (2; 6), (2; 8), (4; 1), (4; 6), (4; 8), (9; 1), (9; 6), (9; 8)} On compte un total de 9 événements (cas possibles) équiprobables.2 2Dans cet exercice, on pouvait également définir l’ensemble fondamental de manière plus détaillée si l’on considère que parmi les 6 faces du dé A par exemple, le cas ‘4’ englobe en réalité deux cas différents: La première face du dé marquée ‘4’ (qu’on pourrait noter 4.1) et la deuxième face du dé marquée ‘4’ (4.2). Dans ce cas, on aurait: S = {(2.1; 1.1), (2.1; 1.2), (2.2; 1.1), (2.2; 1.2) (2.1; 6.1), (2.1; 6.2), (2.2; 6.1), (2.2; 6.2) (2.1; 8.1), (2.1; 8.2), (2.2; 8.1), (2.2; 8.2) ... (9.1; 8.1), (9.1; 8.2), (9.2; 8.1), (9.2; 8.2)} Soit un ensemble fondamental de 36 éléments équiprobables. Mais comme on voit, chaque élément du type (2,1) est obtenu de 4 manières différentes. Donc on peut réécrire l’ensemble fondamental de manière compacte comme on l’a fait auparavent, car les cas possibles restent équiprobables. 2 PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé 2. Quelle est la probabilité que le résultat de A soit supérieur au résultat de B? On compte le nombre de cas favorables correspondant à l’événement ‘dé A > dé B’: (2;1), (4;1), (9,1), (9,6), (9,8); 5 cas favorables. Donc P(A > B) = CF CP = 5 9. 3. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 10? On compte le nombre de cas favorables correspondants à l’événement ‘dé A + dé B = 10’: (2;8), (4;6), (9;1). Donc P(A + B = 10) = CF CP = 3 9 = 1 3. 3 On nomme les événements: M: ‘on meurt’ et S: ‘on survit’. • ‘Situation 1’: On joue une fois avec deux balles dans le barillet. Dans ce cas, il y a deux balles réparties aléatoirement dans 6 emplacements. P(M) = CF CP = 2 6 = 1 3. • ‘Situation 2’: On joue deux fois avec une balle dans le barillet. Ici, la probabilité de mourir au premier coup est de 1/6 3. Si l’on a survécu à ce premier coup, on retourne le barillet et répéte le jeu une deuxième fois, donc la probabilité de mourir au deuxième coup sachant qu’on a survécu au premier est encore de 1/6. On renomme les événements: – M1: ‘mourir au premier coup’; – M2: ‘mourir au deuxième coup’; – Mort: ‘mourir soit au premier, soit au deuxième coup’. On peut représenter ce ‘jeu’ sous la forme d’un diagramme d’arbre: 3Un cas favorable sur 6 cas possibles. 3 PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé Finalement, la probabilité de mourir dans la ‘Situation 2’ est: P(Mort) = P(M1) + P(M2) = 1/6 + 5/6 · 1/6 = 11/36 < 1/3. On voit que la probabilité de mourir est plus faible dans la ‘Situation 2’. Si Jack veut maximiser ses chances de survivre (ce qui revient à minimiser la probabilité de mourir), il doit donc choisir de jouer deux fois avec une seule balle dans le barillet. 4 Au cours d’une expérience sur le comportement des animaux, des rats doivent choisir entre quatre portes d’apparence identique, dont l’une est dite ‘bonne’ et les trois autres ‘mauvaises’. Chaque fois qu’il choisit une mauvaise porte, le rat sent une décharge électrique et est ramené à son point de départ, et cela jusqu’à ce qu’il choisisse la bonne porte. Notons les événements: Mk : ‘le rat choisit la mauvaise porte au k-ième essai’; Bk : ‘le rat choisit la bonne porte au k-ième essai’. 1. Supposons que le rat n’a aucune mémoire. Il choisit à chaque fois de façon équiprobable entre les quatre portes. Déterminez les probabilités des événements suivants: (a) Le rat sort au bout de la troisième fois: P(B3) = 3 4 · 3 4 · 1 4 = 3 4 2 · 1 4 = 9 64; (b) Le rat sort au bout de la septième fois: P(B7) = 3 4 · 3 4 · 3 4 · 3 4 · 3 4 · 3 4 · 1 4 = 3 4 6 · 1 4 = 729 16384; (c) Le rat sort au bout de la n-ième fois: P(Bn) = 3 4 n−1 · 1 4. 4 PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé 2. Supposons que le rat a une mémoire parfaite. A chaque nouvelle expérience il évite les mauvaises portes choisies précédemment. Déterminez la probabilité de l’événement “e rat sort à la k-ième fois’ pour k ∈{1, 2, 3, 4}. Dans ce cas, le rat ne vas pas essayer deux fois de suite une mauvaise porte, donc la probabilité de tomber sur la mauvaise porte diminue au fur et à mesure que le rat essaye des mauvaises portes. Au premier essai, le rat a une probabilité de 3/4 de se tromper, mais au deuxième essai, cette probabilité tombe à 2/3 (la mauvaise porte choisie précédemment ne fait plus partie des choix possibles pour ce rat à la mémoire parfaite). On peut représenter cela avec un diagramme d’arbre: Soit k le nombre d’essais du rat avant de trouver la bonne porte. On a P(k = 1) = P(B1) = 1/4; P(k = 2) = P(B2) = 3/4 · 1/3 = 1/4; P(k = 3) = P(B3) = 3/4 · 2/3 · 1/2 = 1/4; P(k = 3) = P(B3) = 3/4 · 2/3 · 1/2 · 1 = 1/4. 5 PROBABILITÉS I Semestre de printemps 2018 Travaux pratiques GSEM, Université de Genève Prof. Dr. Diego Kuonen, CStat PStat CSci TP 1 — Corrigé 5 1. L ’ensemble fondamental est: S = {(P; P; G), (P; P; L), (P; P; T), (P; P; P), (P; R; G), (P; R; L), (P; R; T), (P; R; P), (P; T; G), (P; T; L), (P; T; T), (P; T; P), (R; P; G), (R; P; L), (R; P; T), (R; P; P), (R; R; G), (R; R; L), (R; R; T), (R; uploads/Religion/ tp1-corrige.pdf
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- Publié le Jul 21, 2022
- Catégorie Religion
- Langue French
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