Lycée Jules Ferry 2020–2021 PTSI 2 Mathématiques Devoir surveillé no 2 Le temps
Lycée Jules Ferry 2020–2021 PTSI 2 Mathématiques Devoir surveillé no 2 Le temps imparti pour ce devoir est de 4 heures. Tout document ou matériel électronique est interdit. La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement prises en compte dans l’évaluation ; en particulier, vous êtes invités à mettre en évidence vos résultats en les encadrant clairement. Sauf mention contraire explicite, toutes vos réponses doivent être soigneusement justifiées, sans quoi elles ne seront pas prises en compte. Si vous pensez repérer une erreur d’énoncé, vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition. Si vous ne parvenez pas à résoudre une question, vous pouvez admettre le résultat demandé et l’utiliser si besoin dans toute question ultérieure du même exercice. Le devoir est constitué de 5 exercices indépendants. L’énoncé comporte 3 pages. Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes. 1. Rappeler la définition de ab lorsque a, b sont deux réels (pas forcément entiers), en précisant pour quels réels elle est valable, puis donner l’ensemble de définition et la dérivée de la fonction f définie par f(x) = (1 −x)x. 2. Soit z = ei 7π 12 −ei π 4 . Déterminer le module et un argument de z. 3. Déterminer toutes les solutions définies sur R et à valeurs réelles de l’équation différentielle (E) suivante, où y est la fonction inconnue et t est la variable : y′′(t) −4y′(t) + 5y(t) = 5t2 + 1 (E) Exercice 2 Le but de l’exercice est de montrer que, pour tout nombre complexe z de module 1, √ 3 ⩽ z + 1 + z2 −z + 1 ⩽13 4 (I) et d’étudier le cas d’égalité dans l’inégalité de gauche ci-dessus. Les deux parties ci-dessous sont indépen- dantes et proposent chacune une méthode pour résoudre ce problème (en particulier, chaque question de la partie II doit être résolue sans utiliser les résultats de la partie I). Partie I - Résolution sous forme algébrique Soit z = a + ib un nombre complexe tel que |z| = 1. 1. Exprimer |z|2 en fonction de a et b puis montrer que : |z + 1| = √2a + 2. 2. Montrer que z2 −z + 1 = (2a −1)(a + ib) puis que z2 −z + 1 = |2a −1|. 3. Étudier sur [−1, 1] les variations de la fonction f : t 7− → √ 2t + 2 + |2t −1| (on pourra effectuer l’étude séparément sur −1, 1 2 et 1 2, 1 ). On précisera notamment les valeurs maximales et minimales atteintes par f sur [−1, 1]. 4. En déduire que la double inégalité (I) est toujours vraie et donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour qu’il y ait égalité dans l’inégalité de gauche. 5. Déterminer enfin les nombres complexes z de module 1 tels que √ 3 = z + 1 + z2 −z + 1 . Partie II - Résolution sous forme trigonométrique Soit z un nombre complexe de module 1 et θ l’argument principal de z. 6. En justifiant votre réponse, déterminer le signe de cos θ 2 , puis montrer en factorisant eiθ + 1 que |z + 1| = 2 cos θ 2 . 1 7. Factoriser e2iθ + 1 puis rappeler la formule donnant, pour tout réel a, cos(2a) en fonction de cos a et en déduire que z + 1 + z2 −z + 1 = 4x2 −3 + 2x avec x = cos θ 2 . 8. Étudier les variations de la fonction g : x 7− → 4x2 −3 + 2x sur [0, 1] (on pourra commencer par donner deux expressions distinctes de g sur h 0, √ 3 2 i et h √ 3 2 , 1 i ). On précisera notamment les valeurs maximales et minimales atteintes par g sur [0, 1]. 9. En déduire que la double inégalité (I) est vraie et que √ 3 = z + 1 + z2 −z + 1 ⇐ ⇒cos θ 2 = √ 3 2 . 10. Résoudre à l’aide du cercle trigonométrique l’équation cos x = √ 3 2 d’inconnue réelle x, et déterminer les nombres complexes z de module 1 tels que l’égalité de gauche dans (I) soit une égalité. Exercice 3 Soit u la fonction définie par u(x) = 2x √ 1 −x2. 1. Justifier avec précision que u est définie sur [−1, 1]. 2. Étudier les variations de u. 3. En déduire que, pour tout réel x ∈[−1, 1], −1 ⩽u(x) ⩽1, et que u(x) ∈{−1, 1} ⇐ ⇒x ∈ n − √ 2 2 , √ 2 2 o . Soit f la fonction définie par f(x) = Arcsin(u(x)) = Arcsin 2x √ 1 −x2 . 4. Montrer à l’aide des questions 1 à 3 que f est définie sur [−1, 1] et déterminer, sans calculer sa dérivée, l’ensemble sur lequel f est dérivable. 5. Calculer f ′(x) en tout réel x tel que f soit définie et dérivable en x. 6. En déduire une expression simplifiée de f sur [−1, 1]. Exercice 4 Cet exercice comporte deux parties indépendantes. Partie I - Résolution d’une équation différentielle Soit (E) l’équation différentielle suivante, où y est la fonction inconnue (définie et deux fois dérivable sur R, et à valeurs dans R) et t est la variable : y′′(t) − 4et + 1 y′(t) + 4e2ty(t) = e3t. (E) Dans les questions 1 et 2, on considère une fonction y définie et deux fois dérivable sur R, qui n’est pas nécessairement solution de (E), et on pose, pour tout x ∈R∗ +, z(x) = y(ln x). 1. Justifier que z est deux fois dérivable sur R∗ +. Exprimer ensuite, pour tout t ∈R, y(t) à l’aide de la fonction z et, calculer y′(t) et y′′(t) à l’aide de la fonction z et de ses dérivées. 2. Montrer que y est solution de (E) ⇐ ⇒z est solution sur R∗ + de (E’) où (E’) est l’équation différentielle suivante, dont z est la fonction inconnue et où la variable est notée x : z′′(x) −4z′(x) + 4z(x) = x (E’) 3. Résoudre l’équation différentielle (E’). 4. En déduire toutes les solutions de (E) sur R∗ +. 2 Partie II - Résolution d’une deuxième équation différentielle Dans cette partie, on considère l’équation différentielle (F) suivante, où y est la fonction inconnue (définie et deux fois dérivable sur R) et t est la variable : y′′(t) −5y′(t) + 4y(t) = 3t2e4t (F) 5. Résoudre l’équation homogène associée à (F). 6. Soit ϕ une fonction définie et deux fois dérivable sur R. On pose y0 : t 7− →ϕ(t)e4t. Montrer que y0 est solution de (F) ⇐ ⇒∀t ∈R, ϕ′′(t) + 3ϕ′(t) = 3t2. 7. Déterminer une fonction ϕ définie et deux fois dérivable sur R telle que : ∀t ∈R, ϕ′′(t)+3ϕ′(t) = 3t2 (on ne demande pas de trouver toutes les fonctions ϕ vérifiant cette condition). 8. En déduire une solution particulière de (F) et résoudre (F). Exercice 5 Pour tout n ∈N∗, on pose : un = Z 1 0 tn √ 1 + t2 dt. 1. Soit I un intervalle de R, u une fonction définie sur I, dérivable sur I et qui ne s’y annule pas, et α un réel tel que α ̸= −1. Rappeler la formule donnant une primitive de t 7→u′(t)u(t)α sur I. 2. En utilisant la question précédente, calculer la valeur de u1. (Cette valeur n’est pas utilisée dans la suite de l’exercice, qui peut donc être traitée même si cette question n’est pas résolue). 3. Soit n ∈N∗. Déterminer le signe de un+1 −un. En déduire que la suite (un)n est convergente. 4. Montrer que pour tout entier n ∈N∗et tout réel t ∈[0, 1], √ 2 2 ⩽ 1 √ 1 + t2 ⩽1. 5. À l’aide de la question précédente, déterminer la limite de (un)n. Dans la suite de l’exercice, on pose, pour tout entier n ∈N∗ In = Z 1 0 tnp 1 + t2 dt. Dans les trois questions qui suivent, on considère un entier naturel n ∈N∗fixé. 6. Montrer que : un + un+2 = In. 7. Montrer que la fonction Fn suivante et dérivable sur R et calculer sa dérivée : Fn : t 7− →tn+1p 1 + t2. En considérant Z 1 0 F ′ n(t) dt, montrer alors que In = √ 2 −un+2 n + 1 8. À l’aide des deux questions précédentes, montrer que (n + 1)un + (n + 2)un+2 = √ 2 puis déduire du sens de variations de (un)n que : un+2 ⩽ √ 2 2n + 3. 9. Montrer finalement que : nun − − − − − → n→+∞ √ 2 2 . Ce dernier résultat peut s’écrire un √ 2/n − − − − − → n→+∞1 ce qui s’interprète comme suit : « (un)n∈N∗tend vers 0 à la même vitesse que √ 2 n n∈N∗». — uploads/Religion/ devoir-surveille-n-2.pdf
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- Publié le Jul 15, 2021
- Catégorie Religion
- Langue French
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