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Nom : ....... DS n°B3 - Tle Spécialité - janvier 2020 Devoir Surveillé n°B3 Tle

Nom : ....... DS n°B3 - Tle Spécialité - janvier 2020 Devoir Surveillé n°B3 Tle Spécialité Probabilités et loi binomiale Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points L’usage de la calculatrice est autorisé. Avertissement : tous les résultats doivent être dûment justiﬁés. La rédaction doit être à la fois précise, claire et concise. Exercice 1. Dans une jardinerie Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : • 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horti- culteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. • La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %. 1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants : • H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 », • H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 », • H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 », • C : « l’arbre choisi est un conifère », • F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ». 1. a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 1. b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3. 1. c. Justiﬁer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0, 525. 1. d. L’arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ? On arrondira à 10−3. 2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est sufﬁsamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. 2. a. Justiﬁer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et en donner une interprétation dans le cadre de l’exercice. 2. c. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? On arrondira à 10−3. 2. d. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? On arrondira à 10−3. 3. Soit n un entier, n > 1. On choisit au hasard un échantillon de n arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est sufﬁsamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de n arbres dans le stock. On appelle Yn la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. 3. a. On note An l’évènement « au moins 1 des n arbres choisis est un conifère ». Montrer que la probabilité de An est 1 −(0, 475)n. 3. b. Déterminer avec la calculatrice la taille n minimale de l’échantillon pour que P(An) ⩾0, 9999. 3. c. Déterminer la taille n minimale de l’échantillon pour qu’en moyenne, au moins 100 arbres sur les n choisis soient des conifères. 3. d. Déterminer la limite quand n tend vers +∞de P(An). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. ↫ Fin du devoir ↬ www.math93.com / M. Duffaud 1/1 uploads/Religion/ ds5-tle-probabilites-binomiale-2020-2021.pdf