Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Statistique et probabilités Cours et exercices corrigés Jean-Pierre Lecoutre Ma

Statistique et probabilités Cours et exercices corrigés Jean-Pierre Lecoutre Maître de conférences honoraire à l’université Panthéon-Assas (Paris II) 6e édition © Dunod, 2016 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-075259-1 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Avant-propos Avant-propos V Ce manuel de cours est destiné principalement aux étudiants de la Licence économie et gestion mais peut être utile à toute personne souhaitant connaître et surtout utiliser les principales méthodes de la statistique inférentielle. Il corres- pond au programme de probabilités et statistique généralement enseigné dans les deux premières années de Licence (L1 et L2). Cette 6e édition s’est enrichie d’exercices nouveaux. Le niveau mathématique requis est celui de la première année de Licence, avec quelques notions (séries, intégrales multiples...) souvent enseignées seulement en deuxième année. Si une grande partie de l’ouvrage est consacrée à la théorie des probabilités, l’ordre des termes retenu dans le titre veut signifier qu’il ne s’agit que d’un outil au service de la statistique. Ce n’est qu’un passage obligé pour donner des bases rigoureuses à la méthode statistique. On peut le concevoir comme un ensemble de règles grammaticales, parfois difficiles et fastidieuses à retenir, mais qui per- mettent de rédiger des textes clairs, rigoureux et sans ambiguités, même si l’on n’a pas conscience qu’ils ont été écrits dans le respect de ces règles. La partie statistique correspond aux deux derniers chapitres d’estimation et de tests d’hy- pothèses. Les fondements théoriques de la statistique étant parfois délicats, nous avons choisi de présenter sans démonstration les principales propriétés nécessaires à une utilisation judicieuse des méthodes statistiques, en les illustrant systémati- quement d’exemples. De même, afin de ne pas alourdir les énoncés de théo- rèmes, les conditions techniques de leur validité ne sont pas présentées dans leur détail, parfois fastidieux, et qui risque de masquer l’essentiel qui est la proprié- té énoncée. Notre souci constant a été de faciliter la compréhension, pour pou- voir passer aisément au stade de l’utilisation, sans cependant pour cela sacrifier à la rigueur. La traduction anglaise des termes les plus usuels figure entre paren- thèses. Chaque chapitre se conclut par des exercices corrigés permettant de contrô- ler l’acquisition des notions essentielles qui y ont été introduites. Faire de nom- breux exercices est certainement le meilleur moyen d’arriver à la compréhension de certaines notions quelquefois difficiles. Rappelons cette maxime chinoise : J’entends et j’oublie. Je vois et je retiens. Je fais et je comprends. En fin de cha- pitre se trouvent également quelques compléments ; soit de notions mathéma- tiques utilisées dans celui-ci, la combinatoire par exemple, soit de propriétés comme l’exhaustivité, très importantes et utiles, mais hors du programme d’une Licence d’économie ou de gestion. Avec ces compléments, cet ouvrage peut convenir aussi aux étudiants des écoles de management. VI STATISTIQUE ET PROBABILITÉS © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Table des matières Avant-propos V Notations XIII Introduction 1 1. Notion de probabilité 5 I. Modèle probabiliste 5 A. Ensemble fondamental 5 B. Algèbre et tribu d’événements 7 C. Probabilité 9 II. Probabilités conditionnelles 13 III.Théorème de Bayes 15 IV. Indépendance en probabilité 17 À retenir 19 Compléments : éléments de combinatoire 19 A. Permutations avec répétition 19 B. Permutations sans répétition ou arrangements 20 C. Permutations avec répétition de n objets, dont k seulement sont distincts 21 D. Combinaisons (sans répétition) 22 E. Combinaisons avec répétition 23 F. Partitions 24 Exercices 25 Énoncés 25 Corrigés 27 2. Variable aléatoire 35 I. Variable aléatoire réelle discrète 36 A. Définition 36 B. Loi de probabilité 37 C. Fonction de répartition 38 D. Moments d’une v.a. discrète 40 Table des matières VII II. Variable aléatoire réelle continue 47 A. Définition 47 B. Loi de probabilité 47 C. Propriétés de la fonction de répartition 47 D. Loi continue 48 E. Loi absolument continue 49 F. Moments d’une v.a. absolument continue 52 G. Changement de variable 54 À retenir 56 Compléments 57 A. Application mesurable 57 B. Densité 58 C. Support 58 Exercices 59 Énoncés 59 Corrigés 61 3. Lois usuelles 69 I. Lois usuelles discrètes 69 A. Loi de Dirac 69 B. Loi de Bernoulli 70 C. Loi binômiale 71 D. Loi hypergéométrique 74 E. Loi de Poisson 76 F. Loi géométrique ou de Pascal 78 G. Loi binômiale négative 79 II. Lois usuelles continues 80 A. Loi uniforme 80 B. Loi exponentielle 82 C. Loi normale ou de Laplace-Gauss 83 D. Loi gamma 88 E. Loi du khi-deux 89 F. Loi bêta 90 G. Loi log-normale 92 H. Loi de Pareto 92 Compléments : fonctions génératrices 92 A. Fonction génératrice d’une v.a. discrète positive 92 B. Fonction génératrice d’une loi absolument continue 94 Exercices 96 Énoncés 96 Corrigés 99 VIII STATISTIQUE ET PROBABILITÉS 4. Couple et vecteur aléatoires 107 I. Couple de v.a. discrètes 108 A. Loi d’un couple 108 B. Lois marginales 108 C. Lois conditionnelles 108 D. Moments conditionnels 110 E. Moments associés à un couple 111 F. Loi d’une somme 112 II. Couple de v.a. continues 114 A. Loi du couple 114 B. Lois marginales 117 C. Lois conditionnelles 118 D. Moments associés à un couple 119 E. Régression 120 F. Loi d’une somme 121 III. Vecteur aléatoire 123 IV. Lois usuelles 125 A. Loi multinomiale 125 B. Loi normale vectorielle 127 À retenir 132 Compléments 133 A. Application mesurable 133 B. Changement de variable 133 Exercices 135 Énoncés 135 Corrigés 138 5. Loi empirique 149 I. Échantillon d’une loi 150 II. Moments empiriques 151 A. Moyenne empirique 151 B. Variance empirique 151 C. Moments empiriques 153 III. Échantillon d’une loi normale 153 A. Loi de Student 154 B. Loi de Fisher-Snedecor 155 IV. Tests d’adéquation 156 A. Test du khi-deux 156 B. Test de Kolmogorov-Smirnov 159 Table des matières IX © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. À retenir 161 Compléments 161 A. Statistique d’ordre 161 B. Théorème de Fisher 163 Exercices 164 Énoncés 164 Corrigés 165 6. Comportement asymptotique 169 I. Convergence en probabilité 170 A. Inégalité de Markov 170 B. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 171 C. Inégalité de Jensen 171 D. Convergence en probabilité 172 E. Loi des grands nombres 175 II. Convergence en loi 177 A. Définition 177 B. Lien avec la convergence en probabilité 177 C. Propriété 177 D. Théorème de Slutsky 178 E. Conditions suffisantes de convergence en loi 178 F. Théorème central limite 178 G. Limite d’une suite image 179 H. Convergence des moments empiriques 180 I. Convergence des lois usuelles 181 À retenir 185 Compléments 185 A. Convergence presque sûre 185 B. Convergence presque complète 187 Exercices 189 Énoncés 189 Corrigés 190 7. Estimation 195 I. Définition d’un estimateur 196 II. Propriétés d’un estimateur 198 A. Biais d’un estimateur 199 B. Convergence d’un estimateur 200 C. Estimateur optimal 201 X STATISTIQUE ET PROBABILITÉS III. Méthodes de construction d’un estimateur 206 A. Méthode du maximum de vraisemblance 206 B. Méthode des moments 208 IV. Estimation par intervalle de confiance 209 A. Exemple introductif 209 B. Principe de construction 210 C. Intervalle pour une proportion 212 D. Intervalles associés aux paramètres de la loi normale 216 À retenir 223 Compléments 223 A. Inégalité de Fréchet-Darmois-Cramer-Rao 223 B. Statistique exhaustive 224 C. Famille exponentielle 227 D. Amélioration d’un estimateur 229 Exercices 231 Énoncés 231 Corrigés 235 8. Tests d’hypothèses 253 I. Concepts principaux en théorie des tests 254 II. Méthode de Bayes 257 III. Méthode de Neyman et Pearson 259 A. Principe de la règle de Neyman et Pearson 259 B. Hypothèses simples 260 C. Hypothèses multiples 262 IV. Test d’indépendance du khi-deux 264 À retenir 265 Compléments 266 Exercices 267 Énoncés 267 Corrigés 270 Tables statistiques 287 Index 301 Table des matières XI © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Notations Notations XIII ensemble fondamental P() ensemble des parties de A,Ac complémentaire de A A algèbre ou tribu de parties de card A cardinal de A ( n p) coefficient binômial [x] partie entière de x ln x logarithme népérien de x 1A indicatrice de A Cov(X,Y) covariance de X et Y f.r. fonction de répartition v.a. variable aléatoire ϕ densité de la loi N(0,1) f.r. de la loi loi N(0,1) C ensemble des nombres complexes t A matrice transposée de A In matrice unité d’ordre n X ⇝P la v.a. X suit la loi de probabilité P B(n,p) loi binômiale de paramètres n et p P(λ) loi de Poisson de paramètre λ N(m,σ) loi normale dans R, d’espérance m et d’écart type σ Nn(µ, ) loi normale dans Rn , de vecteur espérance µ et de matrice variances- covariances Tn loi de Student à n degrés de liberté χ 2 n loi du khi-deux à n degrés de liberté F(n,m) loi de Fisher-Snedecor à n et m degrés de liberté emv estimateur du maximum de vraisemblance © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Introduction Introduction 1 La statistique a une origine très uploads/Religion/ statistique-et-probabilites-6e-ed-cours-et-exercices-corriges.pdf