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1 Université Mohammed V de Rabat-Agdal – Faculté des Sciences – Département de

1 Université Mohammed V de Rabat-Agdal – Faculté des Sciences – Département de Mathématiques et Informatique Master Codes, Cryptographie et Sécurité de l’Information – 1ère année 2008 – 2009 Systèmes Dynamiques Chaotiques pour le Chiffrement Sujet d’examen (3h), en hommage à Edward Norton Lorenz (1917 - 2008) Première partie. “Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?” C’est par cette métaphore emblématique que le météorologue Edward Lorenz, en 1972, a réintroduit le phénomène d’infime sensibilité aux conditions initiales, phénomène mis en évidence numériquement lors de l’étude d’un modèle simplifié de turbulences atmosphériques s’écrivant (système 1): a, r et b étant des paramètres strictement positifs. En dehors des points d’équilibre, des solutions à conditions initiales situées sur l’axe des z ou encore quelques familles de solutions périodiques, le comportement qualitatif des solutions du modèle de Lorenz demeure globalement un mystère. Les simulations numériques (encore faut-il y croire .. heureusement qu'il y a un certain lemme de l'ombre!) montrent qu’à partir d’une certaine valeur critique de r, le système devient pathologiquement sensible aux variations des conditions initiales, manifestant dès lors une dynamique – bien que déterministe – totalement erratique et imprévisible. A noter tout de même que, géométriquement parlant, presque toutes les orbites semblent “remplir” remarquablement le même domaine. Une telle figure est illustrée ci-après et reste sans doute l’une des figures maîtresses du fameux “effet papillon” de Lorenz … 2 Dans ce qui suit, et évitant tout recours à un appareil mathématique dissuasif, les candidats sont alors invités à procéder à une étude qualitative partielle du modèle, avec comme seuls pré-requis: quelques rudiments de la théorie qualitative des équations différentielles et … un minimum de curiosité! 1. Symétrie orbitale: Vérifier que si (x(t) , y(t) , z(t)) est une solution du modèle, alors il en est de même pour (- x(t) , - y(t) , z(t)). 2. Un système dissipatif: Chercher la divergence du champ de vecteurs et en déduire qu’il s’agit d’un système dissipatif. 3. Variétés invariantes triviales: Vérifier qu’une solution aux conditions initiales situées sur l’axe des z tend vers l’origine quant t tend vers l’infini. En déduire que l’ensemble x = y = 0 est invariant. 4. (Bifurcation de) Points d’équilibre: Montrer que pour 0 < r ≤ 1, l’origine (0 ,0 , 0) est le seul point d’équilibre du système et que si r > 1, il y a apparition de 2 autres points d’équilibre donnés par 5. Attraction – Stabilité: a) Donner la linéarisation du système au voisinage de l’origine sous forme (système 2) où A est une matrice carrée constante de taille 3. b) Vérifier que c) Discuter alors de la dimension des variétés stables et instables au voisinage de l’origine. d) Montrer en utilisant le critère de Routh-Hurwitz que l’origine, en tant que point d’équilibre du système 2, est exponentiellement stable ssi 0 < r < 1. e) Que peut-on alors conclure quant à l’origine, en tant que point d’équilibre du système 1 ? Justifier en rappelant le théorème adéquat. f) En utilisant la fonction comme fonction de Lyapounov candidate, retrouver une condition suffisante sur les paramètres pour la stabilité asymptotique de l’origine. 3 6. Cas dégénéré: Dans cette partie, le paramètre r prend la valeur critique 1. a) Vérifier que le système 2 est la réunion de deux sous-systèmes découplés, l’un étant bidimensionnel (en x et y) de matrice B, l’autre unidimensionnel (en z). b) Chercher les valeurs propres de B et les sous-espaces propres correspondants. En déduire que B est diagonalisable. c) Procéder à la diagonalisation de B (trouver P tq P -1 B P = D ). d) Calculer exp (t B) et donner la solution générale du système e) En déduire la solution générale du système 2. f) Discuter du comportement qualitatif de ces solutions en fonction des conditions initiales. g) Dans quels cas peut-on généraliser ce comportement au système de Lorenz au voisinage de sa position d’équilibre? Justifier. 7. Solutions périodiques: Admettons maintenant qu’à tout instant x = y, ce qui n’est vrai en toute rigueur que si a tend vers l’infini d’après la première équation du modèle de Lorenz. a) Vérifier que le système de Lorenz se réduit au système bidimensionnel b) En utilisant le critère adéquat, chercher alors le type de domaines candidats à abriter des solutions périodiques. 8. Un peu d’intuition! a) Essayer de rassembler toutes les données qui porteraient à croire que la figure décrite par les solutions du modèle de Lorenz correspond à un attracteur étrange. b) Obtiendrait-on la même allure pour l’attracteur de Lorenz en simulant le modèle à partir de la même condition initiale et pour le même temps d’évolution, mais en utilisant différentes méthodes d’intégration numérique ? Et si on utilise cette fois-ci les mêmes données ci-dessus (condition initiale, temps d’évolution, schéma numérique d’intégration), mais différentes machines ? Par machine, nous entendons le couple ordinateur + logiciel. Deuxième partie. Concevoir un cryptosystème utilisant le flot du modèle de Lorenz pour crypter/décrypter ● un message texte, ● une image numérique. 1 Université Mohammed V de Rabat-Agdal – Faculté des Sciences – Département de Mathématiques et Informatique Master Codes, Cryptographie et Sécurité de l’Information – 1ère année 2009 – 2010 Systèmes Dynamiques Chaotiques pour le Chiffrement Sujet d’examen (3h) – Juillet 2010 Première partie. L’événement qui a conduit à la découverte du fameux circuit de Léon Chua a eu lieu un après-midi du mois d’octobre 1983, au laboratoire du Professeur T. Matsumoto de l’université Waseda, le lendemain de l’arrivée de l’auteur à Tokyo pour un séjour scientifique de la Japan Society for Promotion of Science. Dans un coin du laboratoire orchestré d’instruments électroniques, il a dû assister à une live- démonstration de la première réalisation électronique du monde du modèle de Lorenz, couronnement d’un travail collectif de plus d’un an de l’Equipe de recherche de Matsumoto. Ce petit chef-d’œuvre électronique frôlait la perfection que l’on jugeait inutile l’invention d’un nouveau circuit. En fait, à cette époque, seuls deux modèles autonomes tridimensionnels étaient acceptés comme étant chaotiques : le modèle de Lorenz (cf. examen de l’année dernière) et celui de Rössler dont la non- linéarité est une fonction de deux variables. Cependant, en remarquant ce jour-là – alors qu’il était déjà l’heure de dormir ! – que le mécanisme derrière le comportement chaotique du modèle de Lorenz et celui de Rössler était essentiellement la présence d’au moins deux équilibres instables, Léon Chua entama la conception d’un circuit plus simple – et donc plus robuste – exhibant un tel comportement. En moins d’une heure, guidé par un flair de deux décennies d’exposition quotidienne à des circuits RLC non linéaires, et en procédant par élimination, l’auteur a réussi à schématiser (sur des enveloppes usées !) un ensemble de huit circuits candidats, duquel va émaner un assemblage qui, dès le lendemain matin, soumis au Prof. Matsumoto et programmé sur son ordinateur, va laisser toute l’Equipe stupéfaite : un attracteur étrange ! 2 Le circuit qui portera le nom de Léon Chua va vite devenir un paradigme universel du chaos et déclencher aussitôt une avalanche de publications qui n’a cessé de croître jusqu’à nos jours (cliquer par exemple sur www.eecs.berkeley.edu/~chua/circuitrefs.html). Outre ses applications dans différents domaines tels les réseaux de neurones, le traitement d’images ou même la composition musicale, et en tant que source physique de signaux pseudo-aléatoires, son importance dans des études de synchronisation telle la sécurité de systèmes de communication est avérée. Les équations (généralisées) sont données par (système 1): où α et β sont des paramètres réels strictement positifs et f une fonction impaire de x, suffisamment régulière. C’est la représentation mathématique de la courbe caractéristique de la diode du circuit … Dans ce qui suit, les candidats sont alors invités à procéder à une étude qualitative très partielle du modèle ; l’étude complète étant compliquée, voire impossible, certaines questions nécessitant l’usage de la machine, nous ramèneront le sujet à l’étude d’un modèle bidimensionnel qui lui est intimement lié. 1. Symétrie orbitale: Vérifier que si (x(t) , y(t) , z(t)) est une solution du modèle, il en est de même pour – ( x(t) , y(t) , z(t)). Conclure. 2. Un système dissipatif: Chercher la divergence du champ de vecteurs et en déduire une condition suffisante sur f pour que le système soit dissipatif. Comment cela se traduit-il sur l’évolution d’un volume fini de conditions initiales de l’espace des phases ? 3. Solutions triviales: Sur un intervalle de temps assez petit, donner la famille de solutions aux conditions initiales situées sur l’intersection de la courbe Cf avec la première bissectrice du plan (x,y). 4. (dénombrement de) Points d’équilibre: Montrer que le système 1 admet autant de points d’équilibre que de zéros pour la fonction f, l’origine étant toujours un équilibre. 5. Stabilité de l’origine: Il était tout à fait normal que Léon Chua conçoive son circuit de telle manière à ce que ses points d’équilibre soient instables … a) Donner la linéarisation du système au voisinage de l’origine sous forme : où A est une matrice carrée de taille uploads/Science et Technologie/ annales-d-x27-epreuves-d-x27-examen-master-c2si-2008-2018.pdf