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Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluati

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluations des réserves Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de Développement Un triangle de développement est une table affichant l’évolution des sinistres à travers le temps. Par exemple, voici un regroupement de sinistres payés (en milliers) d'une compagnie d'assurance par années d’accident vue à différentes dates : Année d’Accident Vu fin 2006 Vu fin 2007 Vu fin 2008 2006 100 150 170 2007 110 161 2008 115 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de Développement • Comme on veut analyser le développement d'une année à travers le temps, il sera plus intéressant de regrouper l'information selon l'âge des réclamations : • L'âge représente le temps entre le début de la période analysée et le moment où l'information est vue. Par exemple, pour l'année d'accident 2006, les sinistres sont âgés de 24 mois au 31 décembre 2007. Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 2006 100 150 170 2007 110 161 2008 115 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de développement Lorsqu'on travaille avec des triangles, on peut analyser l'information selon trois dimensions différentes: • Lignes horizontales – Chaque ligne représente généralement une année d’accident différente (ou une année de police, de déclaration...) • Colonnes – Chaque colonne représente un âge différent • Diagonales — Chaque diagonale représente l'activité d'une année comptable différente. Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles incrémentaux Il sera TRÈS important de noter si l'information à l'intérieur d'un triangle est incrémentale ou cumulative, car cela affectera comment les données seront traitées. Par exemple, chaque cellule d'un triangle incrémental contenant des sinistres payés représente les sinistres payés durant cette période : Les sinistres incrémentaux de 2005 âgés de 24 mois représentent les sinistres payés de l'année d’accident 2005 durant l'année comptable 2006. On remarquera que la somme de chacune des diagonales représente les sinistres payés d'une certaine année comptable. Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 48 mois 2005 600 620 300 300 2006 460 460 230 2007 660 660 2008 700 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles cumulatifs • Pour un triangle de sinistres payés cumulatifs, chaque cellule du triangle représente le cumulatif des sinistres payés depuis le début de la période. Le triangle de la page précédente affiché de façon cumulative donnerait : • Dans cet exemple, la différence entre chaque diagonale représente les sinistres payés d'une certaine année comptable. Par exemple : Sinistres payés durant l'année comptable 2008 = ( 700 + 1,320 + 1,150 + 1,820) – (660+920+1,520) = 1,890 Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 48 mois 2005 600 1220 1520 1820 2006 460 920 1150 2007 660 1320 2008 700 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangle – Réserver aux dossiers •Un triangle peut contenir différents types d'information tel que le total des réserves aux dossiers vu à plusieurs âges : • Lorsqu'on travaille avec des réserves aux dossiers, la dernière valeur de chaque ligne représentera l'estimé le plus à jour des réserves aux dossiers. Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 48 mois 2005 600 1200 1200 1200 2006 690 920 920 2007 990 1320 2008 1040 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de développement Exemple #1 : Basé sur les triangles des pages précédentes, construiser un triangle cumulatif de sinistres déclarés : Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 48 mois 2005 2006 2007 2008 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode de développement classique La méthode de développement classique est une méthode de base pour estimer les réserves actuarielles utilisant des triangles. Elle peut être résumé en 7 étapes : • Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement • Étape 2 - Calculer les facteurs âge à âge • Étape 3 - Calculer des moyennes pour ces facteurs • Étape 4 - Sélectionner un facteur de développement pour chaque âge • Étape 5 - Sélectionner un «tail factor » • Étape 6 - Calculer les facteurs de développement cumulatifs • Étape 7 - Projeter les sinistres à l'ultime Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement La première étape consiste simplement à regrouper l'information à l'intérieur d'un triangle de développement comme nous l’avons vu précédemment. Voici un exemple d’un triangle de développement pour sinistres déclarés cumulatifs : Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 2 - Calculer les facteurs âge à age Un facteur âge à âge fréquemment appelé LDF (i.e. Loss Development Factor) mesure la variation des sinistres d'un âge à l’autre. Par exemple, pour le triangle à l'étape 1, le facteur âge à âge pour la période de 12 mois à 24 mois de l'année d’accident 1998 est : = Sinistres déclarés à 24 mois pour 1998 / Sinistres déclarés à 12 mois pour 1998 = 43,169,009 / 37,017,487 = 1.166 Par convention, nous le l’appelerons le facteur 12-24 mois (LDF 12-24 mois). Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 3 – Calculer des moyennes pour les facteurs âge à âge Afin de faciliter la sélection d'un facteur de développement final pour chacun des âges, les actuaires calculent généralement plusieurs moyennes des facteurs âge à âge. Leur sélection est ensuite basée sur une ou plusieurs de ces moyennes : - Moyenne arithmétique simple - Moyenne excluant la valeur la plus haute et la plus basse - Moyenne pondérée - Moyenne géométrique ... Exemple 2 : Selon le triangle à l'étape 1, calculer la moyenne arithmétique simple et la moyenne pondérée 3 ans pour chaque facteur âge à âge. Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres Une fois les moyennes calculés, l'actuaire devra maintenant utiliser son jugement pour sélectionner les facteurs de développement finaux. Il devra considérer plusieurs points : • Progression continue des facteurs âge à âge à travers les périodes de développement – Normalement le développement devrait être de plus en plus petit à travers le temps • Des facteurs âge à âge stables à l'intérieur d'une même période de développement – Si le développement pour une certaine année est drastiquement différent des autres, peut-être qu'il s'agit d'une donnée aberrante à ne pas considérer. Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres (Suite) • Crédibilité de l'expérience – La ligne d'affaire doit avoir une expérience suffisante et relativement homogène pour chacune des années analysées. •Changement de tendance – S'il semble y avoir une certaine tendance dans les facteurs âge à âge, il sera important de la considérer lors de la sélection • Expérience historique utilisée doit être pertinente – L'actuaire devra s'assurer que l'expérience passé utilisée (pour chaque année) soit prédictive du futur. Par exemple :  Est-ce que les réclamations passés proviennent de polices similaires à celles en force?  Est-ce que les réclamations sont arrivées dans un environnement légal similaire à celui présentement? Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 5 – Sélectionner un «tail factor » Les données disponibles ne sont pas toujours suffisantes pour estimer le développement des sinistres à l'ultime. Afin de déterminer s'il y a encore du développement suivant la dernière période disponible, il faut tout d’abord regarder le dernier facteur de développement. S'il est encore supérieur à 1, on ne peut certainement pas conclure que les sinistres sont complètement développés et la sélection d'un “tail factor” est nécessaire afin d'estimer le développement futur suivant cette période. S'il est égal à 1, il est probable mais non certain que les périodes de développements soient suffisantes pour développer complètement les sinistres. La sélection d'un « tail factor » sera effectuée selon le jugement de l’actuaire. Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 5 – Sélectionner un «tail factor » Il existe plusieurs méthodes pour estimer le « tail factor » , par exemple un modèle basé sur une loi mathématique pourrait être utilisé (i.e. Loi Pareto). En pratique (et à travers ce cours), les actuaires utiliseront souvent leur jugement afin de le déterminer comme en essayant de trouver une tendance à travers les facteurs âge-à-âge ou simplement en se basant sur des données de l'industrie pour l'estimer. Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 6 – Calculer les facteurs de développements cumulatifs Les facteurs de développements cumulatifs (CDF) sont calculés en multipliant le « tail factor » avec les facteurs de développements âge à âge suivant l’âge analysé. Par exemple, pour les sélections de facteurs ci-dessous : CDF à 120 mois = 1.000 car le “tail factor” (to Ult) est de 1.000 CDF à 108 mois = 1.000 *1.000 = 1.000 CDF à 96 mois = 1.002 *1.000 = 1.002 CDF à 84 mois = 1.003 *1.002 = 1.005 ... CDF uploads/Science et Technologie/ cours-2-triangles-de-developpement.pdf