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E´ COLE NATIONALE DES SCIENCES GEOGRAPHIQUES Cours au Maste`re spe´cialise´ De´

E´ COLE NATIONALE DES SCIENCES GEOGRAPHIQUES Cours au Maste`re spe´cialise´ De´sige´o Introduction `a la G ´eostatistique Variographie, krigeage, interpolation et simulation Yann M´eneroux Ann´ee scolaire 2018-2019 Contact : yann.meneroux(at)ign.fr Laboratoire en Sciences et Technologies de l’Information G´eographique (LaSTIG) Institut National de l’Information G´eographique et Foresti`ere (IGN) Abstract Ce document est un support de cours destin´e aux ´etudiants du Mast`ere sp´ecialis´e D´ecision et Syst`eme d’Information G´eolocalis´ee (D´esig´eo) de l’E´cole Nationale des Sciences G ´eographiques. Il permet une introduction autoditacte `a la G´eostatistique lin´eaire, appliqu´ee plus particuli`erement au domaine de la G´eomatique. Il comprend de nombreux exemples, des travaux dirig´es `a r´ealiser sur papier ainsi que des travaux pratiques sur machine (dans la langage de programmation R). Les ressources n´ecessaires (jeux de donn´ees, code informatique...) peuvent ˆetre t´el´echarg´ees `a l’adresse suivante, dans la section Math´ematiques → G´eostatistique : http://cours-fad-public.ensg.eu/ 1 L L θ Notations En r`egle g´en´erale, on note en majuscule les variables al´eatoires et en minuscule les r´ealisations corre- spondantes. Ainsi, par exemple si X est une variable al´eatoire distribu´ee suivant une loi normale, on note x1, x2,... xn des r´ealisations de X et : n m = 1 x n i i=1 est la moyenne empirique des n r´ealisations. Lorsqu’on souhaite ´etudier les propri´et´es statistiques de cette moyenne, on remplace les minuscules par des majuscules : n M = 1 X n i i=1 et M devient une variable al´eatoire dont la loi d´epend de celles des Xi. Dans le probl`eme mod`ele, on consid`ere une fonction z : D ⊂ R2 → R, repr´esentant le relief du terrain : pour un site x du domaine d’´etude D, la variable r´eelle z(x) d´esigne l’altitude du terrain en x. La variable al´eatoire associ´ee est Z(x). La fonction de covariance du processus Z est not´ee C, et le variogramme est not´e γ. Tous deux d´ependent de h qui d´esigne suivant les cas, ou bien un vecteur de D s´eparant deux sites xi et xj, ou bien simplement la norme de ce mˆeme vecteur lorsque le ph ´enom`ene consid´er´e est isotrope. De la mˆeme mani`ere, la notation xi − xj peut d´esigner `a la fois la distance ou bien le vecteur s´eparant xi et xj. Lorsqu’on consid`ere des signaux al´eatoires uni-dimensionnels (en g´en´eral dans un but p ´edagogique), on note X le processus, et X(t) sa valeur en un point t du domaine (par analogie avec les signaux temporels). Une r´ealisation x de X est donc une fonction classique de R dans R. Covariance et variogramme sont alors fonctions de l’´ecart τ entre les points consid´er´es : τ = t2 − t1. Dans ce cours, nous utiliserons fr´equemment 4 loi de probabilit´es : N (m, σ2), la loi normale de moyenne m et d’´ecart-type σ ; U ([a, b]), la loi uniforme sur le segment [a, b] ∈ R ; B(n, p), la loi binomiale d´ecrivant le nombre de succ`es de n ´epreuves de Bernoulli de probabilit´e p et E (λ), la loi exponentielle d’intensit´e λ (i.e. de moyenne 1/λ). Ainsi, la notation X ∼ N (0, 1) d ´esigne une vari- able al´eatoire distribu´ee suivant la loi normale standard, et avec un l´eger abus de notation, on ´ecrira x ∼ N (0, 1) pour d´esigner une variable r´eelle (fix´ee) ayant ´e t´e tir´ee suivant la loi N (0, 1). Pour un crit`ere f donn´e, lorsqu’une variable θ peut prendre un ensemble de valeurs dans un ensemble d´efini Θ, on note θ∗ une valeur optimale. Par exemple dans le cas o u` on cherche `a minimiser f : θ∗ ∈ argmin f (θ) = {θ ∈ Θ | ∀ t ∈ Θ : f (θ) :( f (t)} Remarquons que l’ensemble argmin est non-vide si, et seulement si, f est born´ee en valeurs inf ´erieures et atteint sa borne. En g´en´eral, f est continue, et Θ est un pav´e (donc compact) de Rp : l’ensemble argmin est donc non-vide et θ∗ existe (mais n’est pas n´ecessairement unique). ∈ | ∇ 2 Lorsqu’une fonction f d´efinie sur R+ admet une limite (finie) l en l’infini, on note f (∞) = l. Pour une variable inconnue z donn´ee, on note z son estimateur. Lorsqu’on souhaite estimer les pro- pri´et´es statistiques de cet estimateur, on le consid`ere comme une variable al´eatoire et on le note Z. L’erreur d’estimation, Z − Z est elle-mˆeme une variable al´eatoire. En g´en´eral, on note en caract`eres gras les quantit´es matricielles et vectorielles. Ainsi, Z est le vecteur contenant les valeurs prises par Z en n sites : x1, x2, ...xn. Dans ce cas, nous n’op´erons plus de dis- tinction entre la variable al´eatoire et ses r´ealisations. Pour un ´ev`enement quelconque A, on note ]_A la fonction indicatrice de A, c’est-`a - dire telle que ]_A(x) vaut 1 si x v´erifie l’´el´ement A et 0 sinon. Par exemple, pour un MNT z et un seuil s ∈ R, la fonction indicatrice ]_z(x)s vaut 1 en tout point x d’altitude sup´erieure `a s et 0 sinon. Pour un ensemble A quelconque, on note |A| le nombre d’´el´ements contenus dans A (appel´e cardinal de A) et P(A) l’ensemble des parties de A, i.e. l’ensembles des ensembles B ⊆ A. Par exemple, si A = {1, 2, 3}, alors P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}. On montre facilement que |P(A)| = 2|A|, d’ou` la notation parfois rencontr´ee : P(A) = 2A. Lorsqu’elle existe, A−1 est la matrice inverse de A Rn×n, c’est-`a - dire l’unique matrice de Rn×n telle que A−1A = AA−1 = In o u` In d´esigne la matrice identit´e de Rn×n. Par ailleurs, AT d ´esigne la matrice transpos´ee de A : (AT )ij = (A)ji. Si f est une fonction r´eelle de p variables : x1, x2,...xp, alors ∂f/∂xi est la d´eriv´ee partielle de f par rapport `a la i-eme variable. Le vecteur f de terme g´en´eral ( f )i = ∂f/∂xi est le vecteur gradient de f . Si en plus f est `a valeurs dans Rm, on note f1, f2, ... fm ses m composantes scalaires et alors la matrice J ∈ Rm×p de terme g´en´eral (J)ij = ∂fi/∂xj est la matrice jacobienne de f , c’est- `a-dire la matrice compos´ee des m vecteurs lignes gradients des m composantes de f . Si X et Y sont deux variables al´eatoires, alors P(X = x|Y = y) d´esigne la probabilit´e conditionnelle de X sachant que Y prend la valeur y. Elle vaut par d´efinition : P(X = x Y = y) = P ( X = x, Y = y ) P(Y = y) De la mˆeme mani`ere on peut d´efinir l’esp´erance conditionnelle E[X|Y = y] comme l’esp ´erance de la variable X soumise `a la loi conditionnelle P(X = x|Y = y). 3 Contents 1 Rappels statistiques 10 1.1 Espace probabilis´e......................................................................................................................10 1.2 Variable al´eatoire r´eelle.............................................................................................................11 1.3 Fonction de r´epartition...............................................................................................................12 1.4 Densit´e de probabilit´e................................................................................................................14 1.5 Esp´erance....................................................................................................................................15 1.6 Variance..........................................................................................................................................17 1.7 Covariance......................................................................................................................................19 1.8 Moments statistiques.....................................................................................................................23 1.9 Exemple de synth`ese..................................................................................................................25 2 Analyse variographique 29 2.1 Processus stochastique.................................................................................................................29 2.2 Une premi`ere approche informelle..............................................................................................34 2.3 Les hypoth`eses fondamentales.....................................................................................................35 2.3.1 La Stationnarit´e.............................................................................................................35 2.3.2 L’ergodicit´e.....................................................................................................................38 2.3.3 Les hypoth`eses en pratique.............................................................................................41 2.4 Le variogramme............................................................................................................................47 2.4.1 Variogramme exp´erimental..........................................................................................50 2.4.2 Interpr´eter le variogramme.............................................................................................59 2.4.3 Les mod`eles de variogramme..........................................................................................62 2.4.4 L’estimation du variogramme.........................................................................................70 2.4.5 Pour aller plus loin............................................................................................................77 2.5 Bilan...............................................................................................................................................82 3 Interpolation par Krigeage 83 3.1 Introduction...................................................................................................................................83 3.2 Les contraintes du krigeage..........................................................................................................90 3.2.1 Contrainte de lin´earite.................................................................................................90 3.2.2 Contrainte d’autorisation.................................................................................................91 3.2.3 Contrainte d’universalit´e..............................................................................................92 3.2.4 Contrainte d’optimalit´e.................................................................................................93 3.2.5 Formulation du probl`eme..............................................................................................93 3.3 Le krigeage.....................................................................................................................................94 3.3.1 Le krigeage ordinaire.......................................................................................................95 3.3.2 Le krigeage intrins`eque.................................................................................................97 3.4 Mise en oeuvre du krigeage.........................................................................................................99 3.5 Propri´et´e du krigeage...............................................................................................................108 3.5.1 Exactitude........................................................................................................................109 3.5.2 Multiplication du variogramme......................................................................................109 3.5.3 Lin´earit´e....................................................................................................................110 3.5.4 Lissage..............................................................................................................................113 4 3.6 Formulation duale........................................................................................................................114 3.7 Les variantes du krigeage............................................................................................................116 3.7.1 Krigeage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7.2 Krigeage de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.7.3 Krigeage par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.7.4 Krigeage universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7.5 Krigeage avec d´erive externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.7.6 Autres variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Science et Technologie/ cours-geostatistique.pdf