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Mécanique des milieux continus Introduction aux principes et applications aJ.N.

Mécanique des milieux continus Introduction aux principes et applications aJ.N. R ed dy sciences de l’ingénieur Mécanique des milieux continus Introduction aux principes et applications Dans la collection « Sciences de l’ingénieur » ALEXANDER, SADIKU, Analyse des circuits électriques BEER, JOHNSTON, BENEDETTI, TREMBLAY, Mécanique pour ingénieur. Vol. 1 Statique BEER, JOHNSTON, COLLET, MAYER, Mécanique pour ingénieur. Vol. 2 Dynamique BOLES, CENGEL, LACROIX, Thermodynamique. Une approche pragmatique GHASEM, HENDA, Bilans matière et énergétique pour l’ingénierie chimique. Principes et applications pratiques WELTNER, WEBER, SCHUSTER, GROSJEAN, Mathématiques pour physiciens et ingénieurs aJ .N . Red d y sciences de l’ingénieur Mécanique des milieux continus Introduction aux principes et applications Traduction de l’édition américiane par Anna Cuprjak Révision scientifique de Loïc Villain © Groupe De Boeck s.a., 2013 Rue des Minimes 39, B-1000 Bruxelles Pour la traduction et l’adaptation française Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit. Imprimé en Belgique Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris : février 2013 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2013/0074/072 ISBN 978-2-8041-7555-9 Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com Ouvrage original Principles of continuum mechanics. A Study of Conservation Principles with Applications by J.N. Reddy. Copyright © J.N. Reddy 2010. Cambridge University Press. All Rights Reserved. Même l’esprit le plus brillant, quand il a été éduqué depuis sa plus tendre enfance selon certaines superstitions, jamais il ne pourra, de- venu mature, examiner sincèrement, sans passion et en pleine con- science un élément ou une circonstance qui pourrait jeter le doute sur la validité de ces superstitions. Mark Twain Le fait qu’une opinion est largement tenue ne prouve en rien qu’elle ne soit pas complètement absurde. Et même, vu la bêtise de la plupart des hommes, une opinion largement répandue a plus de chances d’être sotte que sensée. Bertrand Russell Le désir d’approbation et de reconnaissance est sain, mais celui d’être reconnu comme étant meilleur, plus fort ou plus intelligent qu’un autre mène facilement à une adaptation psychologique excessivement égoïste qui peut devenir nuisible à l’individu comme à la communauté. Albert Einstein v vi Table des matières Avant-propos xi 1 Introduction 1 1.1 Mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Objectif de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Vecteurs et Tenseurs 11 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Déﬁnition d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Algèbre des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Vecteur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Vecteur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.3 Addition de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.4 Multiplication d’un vecteur par un scalaire . . . . . . 14 2.3.5 Produit scalaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.6 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.7 Produits triples de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.8 Surface plane et vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.9 Composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Notation indicielle et convention de sommation . . . . . . . . 27 2.4.1 Convention de sommation . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Indice muet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.3 Indice libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.4 Symboles de Kronecker et de permutation . . . . . . . 29 2.4.5 Loi de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Théorie des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Addition de matrices et multiplication par un scalaire 36 2.5.3 Matrice transposée, symétrique et antisymétrique . . . 37 2.5.4 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.5 Inverse et déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . 41 2.6 Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6.1 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6.2 Divergence et rotationnel d’un vecteur . . . . . . . . . 47 2.6.3 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . 49 2.6.4 Théorèmes du gradient, de Green–Ostrogradski et du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.1 Dyades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.2 Composantes d’une dyade . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7.3 Transformation des composantes d’une dyade . . . . . 56 vii TABLE DES MATIÈRES 2.7.4 Calcul tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Cinématique d’un milieu continu 63 3.1 Déformation et conﬁguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 Déformations conventionnelles ou nominales . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Déformation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Déformation de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Cinématique d’un milieu continu solide . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Conﬁgurations d’un milieu continu . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Descriptions matérielles et spatiales . . . . . . . . . . 70 3.3.3 Champ de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Analyse uploads/Science et Technologie/ introduc-mmc.pdf