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Classe: Terminale Accueil » Limites et continuité : rappels et compléments - Ts

Classe: Terminale Accueil » Limites et continuité : rappels et compléments - Ts Limites et continuité : rappels et compléments - Ts Limites et continuité : rappels et compléments - Ts I. Rappels I. Rappels I.1 Limites I.1 Limites I.1.1 Limites à l'infini I.1.1 Limites à l'infini On a : ∗ lim x→+∞ f(x) = + ∞ si, et seulement si, ∀A > 0 , ∃B > 0 tel que si x ≥B alors f(x) ≥A ∗ lim x→+∞ f(x) = −∞ si, et seulement si, ∀A < 0 , ∃B > 0 tel que si x ≥B alors f(x) ≤A ∗ lim x→−∞ f(x) = + ∞ si, et seulement si, ∀A > 0 , ∃B < 0 tel que si x ≤B alors f(x) ≥A ∗ lim x→−∞ f(x) = −∞ si, et seulement si, ∀A < 0 , ∃B < 0 tel que si x ≤B alors f(x) ≤A ∗ lim x→+∞ f(x) = ℓ∈R si, et seulement si, ∀ε > 0 , ∃A > 0 tel que si x ≥A alors | f(x) −ℓ| ≤ε I.1.2. Limites en I.1.2. Limites en x x 0 0 On a : ∗ lim x→x + 0 f(x) = + ∞ si, et seulement si, ∀A > 0 , ∃α > 0 tel que si x0 < x ≤x0 + α alors f(x) ≥A ∗ lim x→x − 0 f(x) = −∞ si, et seulement si, ∀A < 0 , ∃α > 0 tel que si x0 −α ≤x < x0 alors f(x) ≤A Théorème Théorème Soit f une fonction non définie en x0, alors f admet une limite en x0 si, et seulement si, lim x→x + 0 f(x) = lim x→x − 0 f(x) = ℓ∈R Collège Collège Sixième Cours Math 6e Exo Maths 6e Sciences de la Vie 6e Cinquième Sciences de la vie 5e Sciences de la terre 5e Math 5e Cours Maths 5e Exo Maths 5e Quatrième Cours Maths 4e Exo Math 4e PC 4e Cours PC 4eme Exo PC 4e Histoire 4e SVT 4e Science de La Vie 4e Science de la terre 4e Exo SVT 4e Exos Sciences de la Vie 4e Exos sciences de la terre 4e Troisième PC 3e Cours PC 3e Cours Physique 3e Cours Chimie 3e Exo PC 3e Exos Physique 3e Exos chimie 3e BFEM PC Histoire Maths 3e Cours Maths 3e Exos maths 3e BFEM Maths QCM Maths 3e SVT 3e Science de La Terre 3e Science de La Vie 3e Exo SVT 3e BFEM SVT Lycée Lycée Seconde Math 2nd Cours Maths 2nd Exo maths 2nd Devoir Maths 2nd PC 2nd Cours PC 2nd Exo PC 2nd Accueil Cours Exercices Devoirs Vidéo QCM Nous contacter Créer un compte Fascicule des partenaires Nous soutenir I.1.3. Opération sur les limites I.1.3. Opération sur les limites Soient f et g deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de f + g , f × g et de f g sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous. N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée (F. I) I.1.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions I.1.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions lim f ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞ lim g ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ lim (f + g) ℓ+ ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ F. I I.1.3.2 Limites d'un produit I.1.3.2 Limites d'un produit lim f ℓ ℓ> 0 ℓ< 0 ℓ> 0 ℓ< 0 +∞ −∞ +∞ 0 lim g ℓ′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ∞ lim (f × g) ℓ× ℓ′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ F. I I.1.3.3 Limites d'un quotient I.1.3.3 Limites d'un quotient lim f ∞ ℓ ℓ +∞ +∞ −∞ −∞ lim g ∞ ℓ′ ≠0 ∞ ℓ′ < 0 ℓ′ > 0 ℓ′ < 0 ℓ′ > 0 lim f g F. I ℓ ℓ′ 0 −∞ +∞ +∞ −∞ lim f ℓ> 0 ℓ> 0 ℓ< 0 ℓ< 0 0 lim g 0 + 0 − 0 + 0 − 0 lim f g +∞ −∞ −∞ +∞ F. I Remarque Remarque On a quatre "formes indéterminées" : ∞−∞, 0 × ∞, 0 0 et ∞ ∞ I.1.4. Levée d'une indétermination I.1.4. Levée d'une indétermination Pour lever une indétermination on doit, selon le cas : − Utiliser l'un des théorèmes suivants Théorème 1 Théorème 1 La limite à l'infini d'un polynôme est la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré. Théorème 2 Théorème 2 La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est la limite à l'infini du quotient des monômes de plus haut degré. − Factoriser par (x −x0) ou multiplier par l'expression conjuguée − Utiliser les théorèmes de comparaison Soit f , g : I ⟶R et soit x0 ∈I ou x0 = ± ∞ Théorème 3 Théorème 3 Si au voisinage de x0 on a f(x) ≤g(x) alors on a : si lim f(x) = + ∞ alors, lim g(x) = + ∞ si lim g(x) = −∞ alors, lim f(x) = −∞ Théorème 4 : (Théorème des gendarmes) Théorème 4 : (Théorème des gendarmes) Si au voisinage de x0 on a g(x) ≤f(x) ≤h(x) et que lim x→x0 g(x) = lim x→x0 h(x) = ℓ (finie ou infinie) alors, lim x→x0 f(x) = ℓ − Utiliser le théorème de composée de fonctions Cours SVT Seconde Première Maths 1ere Cours Maths 1ere Exos Maths 1ere Devoir Maths 1ere PC Première Cours PC 1ere Exo PC Première Cours SVT Première Terminale Maths Terminale Cours Maths TS Exos Maths Terminale PC Terminale Cours PC Terminale Exo PC Terminale SVT Terminale Exos SVT Terminale Philosophie Cours Philo Savoir-faire Philo Texte Philo Exo Philo Histoire Géographie Connexion utilisateur Connexion utilisateur Nom d'utilisateur * Mot de passe * Créer un nouveau compte Demander un nouveau mot de passe ( ) ( ) Se connecter Se connecter Théorème 5 Théorème 5 Soit deux fonctions f et g telles que : f : I ⟶R , g : J ⟶R I et J sont deux intervalles de R tels que f(I) ⊂J et soit x0 , ℓ, ℓ′ finis ou infinis, on a : Si lim x→x0 f(x) = ℓ et si lim x→ℓ g(x) = ℓ′ alors, lim x→x0 g ∘f(x) = ℓ′ I.2. Continuité I.2. Continuité I.2.1. Définition I.2.1. Définition Soit f : I ⟶R et x0 ∈I alors : ⋅ f est continue à gauche x0 si, et seulement, lim x→x − 0 f(x) = f(x0) ⋅ f est continue à droite x0 si, et seulement, lim x→x + 0 f(x) = f(x0) ⋅ f est continue en x0 si, et seulement, lim x→x0 f(x) = f(x0) Théorème 6 Théorème 6 Soit f : I ⟶R et x0 ∈I On dit que f est continue en x0 si, et seulement, f est continue à gauche et à droite de x0, c'est-à-dire lim x→x − 0 f(x) = lim x→x + 0 f(x) = f(x0) I.2.2. Opérations sur les continuités I.2.2. Opérations sur les continuités Si f est continue sur I et g continue sur J alors : ⋅ f + g est continue sur I ∩J et ∀x0 ∈I ∩J , lim x→x0 [f(x) + g(x)] = f(x0) + g(x0) ⋅ fg est continue sur I ∩J et ∀x0 ∈I ∩J , lim x→x0 f(x)g(x) = f(x0) × g(x0) ⋅ f g est continue sur A = I ∩J ∖{x ∈J tels que g(x) = 0} et ∀x0 ∈A , lim x→x0 f(x) g(x) = f(x0) g(x0) Théorème 7 (composée) Théorème 7 (composée) Soit f : I ⟶R et g : J ⟶R avec f(I) ⊂J Si f est continue sur I et g continue sur J alors g ∘f est continue sur I et ∀x0 ∈I , lim x→x0 g ∘f = g ∘f(x0) Remarques Remarques − Toute fonction polynôme est continue sur R − Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition. − La fonction √f(x) est continue sur son domaine de définition. − La fonction | f(x) | est continue sur son domaine de définition. − Les fonctions sinx , cosx sont continues sur leur domaine de définition. − La fonction tanx est continue sur R ∖ π 2 + kπ , k ∈Z . I.2.3. Prolongement par continuité I.2.3. Prolongement par continuité Si x0 ∉Df et si limx→x0f(x) = ℓ∈R et ]x0 −α ; x0 + α[ ∩Df = ∅ alors, f est prolongeable par continuité en x0. On définit f1(x) le prolongement par continuité en x0 de f par : f1(x) = f(x) si x ≠x0 ℓ si x = x0 II. Compléments II. Compléments II.1. Image d'un intervalle par une fonction continue II.1. Image d'un intervalle par une fonction continue Soit I un intervalle de R alors ⋅ f est continue sur I si, et seulement si, elle est continue en tout point de x0 ∈I ⋅ l'image d'un intervalle I ⊂R par une fonction continue est un uploads/Science et Technologie/ limites-et-continuite-rappels-et-complements-ts-sunudaara.pdf