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Université Abdou Moumouni de Niamey Faculté des Sciences et Techniques Département de mathématiques et informatique L3 mathématique, 2021-2022 Travaux dirigés : Équations Diérentielles Ordinaires (Fiche 2) Exercice 1 : Soient a et b deux constantes strictement positives. On considère l'équation diérentielle ordinaire non linéaire : (E)  x′(t) = ax(t) −bx2(t) x(t0) = x0. 1. Montrer que l'équation (E) admet une unique solution maximale dé nie sur un intervalle I contenant t0. 2. Montrer que cette solution est globale, c'est-à-dire dé nie sur R tout entier. 3. On suppose désormais que la donnée initiale x0 véri e la condition 0 < x0 < a b. Montrer que toute solution de (E) véri e aussi cette condition, c'est-à-dire 0 < x(t) < a b, ∀t ∈I. 4. Trouver deux constantes c et d telles que 1 x(a −bx) = c x + d a −bx. 5. En déduire l'expression de la solution de l'équation (E). 6. Calculer la limite lorsque t →±∞de la solution de l'équation (E). Exercice 2 : Pour y0 ∈R, on s'intéresse au problème de Cauchy suivant : (P)  y′(t) = sin(y(t)), t ∈R y(0) = y0. 1. Soit y0 ∈R. Montrer que le problème (P) admet une unique solution maximale y. 2. Montrer que cette solution est globale, c'est-à-dire dé nie sur R tout entier, et est de classe C∞. 3. Quelles sont les solutions stationnaires de (P) (les fonctions constantes)? 4. On suppose que 0 < y0 < π. Montrer que (i) ∀t ∈R, 0 < y(t) < π, (ii) lim t→−∞y(t) = 0, lim t→+∞y(t) = π. 1 Exercice 3 : Soit ϕ une fonction de classe C2 de R2 dans R. On considère le système diérentiel : (S) ( dx(t) dt = x(t) + y(t)ϕ(x(t), y(t)) dy(t) dt = y(t) + x(t)ϕ(x(t), y(t)). On note (x(t), y(t)) la solution maximale de ce système telle que : x(0) = y(0) = 1 √ 2. 1. Démontrer que x2(t) + y2(t) = e2t. Quel est le domaine de dé nition de (x(t), y(t))? 2. On pose x(t) = et cos u(t) et y(t) = et sin u(t). Quelle est l'équation diérentielle véri ée par la fonction u(t)? 3. On suppose désormais que ϕ(x, y) = xy 1+x2+y2. Démontrer que x(t) > 0 et y(t) > 0 pour tout t ∈R2. 4. Résoudre l'équation diérentielle du dt = e2t 1 + e2t sin u cos u, 0 < u < π 2 . Exercice 4 : On considère l'équation diérentielle x′′(t) + ϕ(t)x(t) = 0, où ϕ est une fonction de classe C1 dé nie de R dans R et véri ant pour t ≥t0 les conditions ϕ(t) > 0 et ϕ′(t) ≥0. 1. Soit x(t) une solution de cette équation dé nie sur [t0, +∞[ et soit f(t) = ϕ(t)x2(t). Montrer que f(t) = f(t0) + (x′(t0))2 −(x′(t))2 + Z t t0 ϕ′(s) ϕ′(s)f(s)ds. 2. En appliquant le lemme de Gronwall donner une majoration de x(t) sur [t0, +∞[ à l'aide de f(t0) + (x′(t0))2 et ϕ(t0). Exercice 5 : On considère le système diérentiel (S) ( x′(t) = x t + 2y(t) 1+y2(t) y′(t) = y t + e−x2. où t > 0. Soit (x(t), y(t)) la solution maximale du système telle que x(1) = 1 et y(1) = 1. 1. Déterminer le domaine de dé nition de cette solution maximale. 2. Donner une majoration de |x(t)| + |y(t)| sur l'intervalle [1, a] où a > 1. Même question sur l'intervalle [a−1, 1]. 2 uploads/Science et Technologie/ td2-l3maths.pdf

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