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1 www.um6ss.ma M. FETTACH Semestre 3 2021-2022 Acquisition et traitement des données biomédicales Acquisition et traitement des données biomédicales Partie 1: Traitement numérique des signaux déterministes Chapitre 1: Signaux et systèmes numériques Chapitre 2: Analyse spectrale des signaux à temps discret Chapitre 3: Transformation en Z Chapitre 4: Filtrage numérique: Analyse et synthèse Partie 3: Acquisition numérique des données Chapitre 6 : Les bases de l’acquisition des données Partie 4: Acquisition et traitement des signaux physiologiques (Mini projet labview) Partie 2: Traitement des signaux aléatoires Chapitre 5: Traitement analogique et numérique des signaux aléatoires 2 Introduction Le traitement numérique du signal consiste en un ensemble de théories et de méthodes permettant de créer, d'analyser, de modifier, de classifier, et de reconnaître les signaux. Le signal numérique n'existe pas dans la nature. C'est un outil mathématique, qui a pour but de permettre une manipulation aisée des signaux analogiques à l'aide de calculateurs numériques. 3 Les signaux observés sont, la plupart du temps, analogiques (température, tension, courant, ...). Pour pouvoir les traiter numériquement, il faut les numériser. La numérisation des signaux analogiques se fait en deux étapes: - Echantillonnage - Quantification 4 L'échantillonnage correspond à une discrétisation en temps du signal. La quantification permet d'associer une valeur numérique à l'échantillon prélevé. C'est une discrétisation en amplitude. Les valeurs discrètes obtenues sont codées sur un ou plusieurs bits. 5 Exemples d'application : Le traitement numérique utilise des moyens informatiques, permet des applications dans beaucoup de domaines: Télécommunications, Traitement de la parole, Ingénierie biomédicale, Imagerie médicale, … 6 Avantages des systèmes numériques: Les systèmes numériques possèdent sur leurs homologues analogiques un ensemble d’avantages décisifs : •Simplicité : beaucoup d’applications se réalisent plus facilement en numérique qu’avec les systèmes analogiques. •Possibilités de traitement accrues: possibilité de réaliser des traitements qui n’ont pas d’équivalent analogique. •Robustesse aux bruits : Les systèmes numériques sont insensibles aux bruits parasites. 7 •Précision et stabilité : La précision des calculs dépend uniquement du calculateur utilisé et la stabilité ne varie pas avec l’âge du système (pas de vieillissement des composants). •Flexibilité : Le traitement est défini par un logiciel chargé en mémoire. Il peut être remplacé par un autre traitement plus performant ou mieux adapté. 8 Quelques inconvénients des systèmes numériques: - Possibilité d’amplification et de propagation d’erreurs d’échantillonnage et de quantification - Plus de ressources matérielles - Plus lents 9 Références bibliographiques : 1.M. KUNT, Traitement numérique des signaux, Traité d’électricité, Volume XX, Dunod, 1981. 2.K. KPALMA et V. HAESE-COAT, Traitement numérique du signal : Théorie et applications, Technosup, ellipses, 2003. 3.P.COURMONTAGNE, Ingénierie du signal : Théorie et pratique, Technosup, ellipses, 2005. 4.F. COTTET, Traitement des signaux et acquisition de données, 2e édition, Dunod, 2009. 5.M. BELLANGER, Traitement numérique du signal, théorie et pratique, 8e édition, Dunod, 2006. 10 11 www.um6ss.ma M. FETTACH Chapitre 1: Signaux et systèmes numériques Semestre 3 2021-2022 Acquisition et traitement des données biomédicales 1 Signaux à temps discret 1.1 Définitions Un signal à temps discret est une séquence de valeurs numériques réelles ou complexes, c'est-à-dire, une correspondance de l'ensemble des entiers Z vers soit l'ensemble R ou soit l'ensemble C, comme suit: 12 n est appelé indice du temps discret. x[n], la nième valeur dans la séquence, est appelée le nième échantillon. Pour désigner la séquence complète, une des notations suivantes peut être utilisé: x, {x[n]} ou même x[n] s'il n'y a aucune ambiguïté. Sauf indication contraire, on suppose que les signaux à temps discret prennent des valeurs complexes, i.e. x[n] C. 13 1.2 Description Il y a plusieurs manières pour décrire un signal à temps discret: Séquence: où la barre sur le symbole 1 indique l'origine du temps (i.e. n = 0 ) Expression mathématique explicite: 14 Graphique : la séquence x[n] n’est définie que pour n entier. Pour n non entier, x[n] est non définie. 15 Approche récursive: Signal à temps discret à durée limitée Un signal discret sera dit à durée limitée si : avec [Q, P] la durée du signal. 16 Signal à temps discret périodique Un signal périodique se répète à tous les N échantillons, et est décrit par : La période N est le plus petit nombre d’échantillons qui se répètent. La période est toujours un entier. Exemple: x[k] périodique sur 3 points : x[0] = 0 ; x[1] = 1 ; x[2] = 2 ; x[3] = 0 ; x[4] = 1 ; x[5] = 2 ; … On a: x[k] = x[k + 3p] avec k = 0, 1, 2, … p = 1, 2, 3, … 17 1.3 Energie et puissance d'un signal discret Soit un signal à temps discret représenté par la séquence {x[n]}. L'énergie est définie par : La puissance moyenne du signal représenté par la séquence {x[n]} est définie par : 18 • Addition : 1.4 Opérations élémentaires On définit les opérations suivantes sur l'ensemble des signaux à temps discret: La somme de 2 signaux est obtenue en additionnant 2 à 2 les échantillons pour une même valeur de la variable indépendante. • Multiplication : Le produit de deux signaux est obtenu en multipliant 2 à 2 les échantillons pour une même valeur de la variable. 19 Le produit d’un signal par une constante est obtenu par la multiplication de tous les échantillons du signal par la même constante. • Multiplication par un scalaire : • Décalage temporel : C’est le déplacement de la séquence x[n] vers la droite ou vers la gauche d’un certain nombre d’échantillons . Un signal y[n] = x[n - ] représente une version retardée de x[n] (pour > 0). C’est à dire si x[n] commence à n = N, alors y[n] = x[n - ] commence à N + . 20 • Repliement : Le repliement permet de faire une image miroir d’un signal. Un signal y[n] = x[-n] représente une version repliée de x[n], ou une image miroir de x[n] autour de n = 0. • Décimation : C’est la compression du temps d’un signal. Le signal y[n] = x[2n] équivaut alors au signal compressé x(2t) qui est échantillonné à t et contient les échantillons x[0], x[2], x[4], …. 21 • Interpolation: L’interpolation est l’étirement en fonction du temps. Le signal y[n] = x[n/2] équivaut au signal x(t) qui est échantillonné à des intervalles de t/2. Trois techniques pour faire l’interpolation : Interpolation zéro: Implique que chaque nouveau échantillon est nul (zéro). Interpolation échelon: On prend la valeur précédente pour le nouveau échantillon. Interpolation linéaire: On fait la moyenne entre les valeurs de chaque côté du nouveau échantillon. 22 1.5 Définitions de quelques signaux élémentaires o L’impulsion unité définie par : Tout signal à temps discret x[n] peut s’écrire : Somme d’impulsions décalées [n – k] et d’amplitude x[k]. 23 o Le saut unité défini par : De manière équivalente, on a : Inversement, Le saut unité décalé défini par : 24 o Le signal rectangulaire de largeur totale 2N est défini par: Pour des raisons de simplicité,le signal rectangulaire peut être défini à partir de l’origine : On a: 25 o Le signal triangle d’amplitude maximale 1 centré à l’origine, de largeur totale à la base de 2N est défini par: o Le signal sinc est défini par: sinc[nN] = 0 pour n = kN, k = 0,1,2, … . Pour n = 0, par définition, sinc(0) = 1. 26 o La séquence exponentielle complexe où est la fréquence angulaire normalisée (en radians par échantillon et non pas en radians par seconde comme la fréquence angulaire des signaux à temps continu). o Le signal sinusoïdal décrit par : x[n] = cos(n) 27 1.6 Classes des signaux Les sous ensembles suivants des signaux à temps discret jouent un rôle très important: Signaux à énergie finie : Signaux à puissance moyenne finie : 28 Signaux bornés : Signaux absolument sommables : 29 1.7 Produit de convolution 1.7.1 Définitions Le produit de convolution de 2 signaux à temps discret x[k] et y[k] est défini par : La convolution de deux signaux quelconques n'existe pas toujours. Cependant, si les deux signaux x et y sont absolument sommables, l'existence de x * y est garantie. 30 Exemple: Produit de convolution des signaux : (Voir TD) Trois cas selon la valeur de n : 31 Représentation de z(n) pour N = 7 et a = 0.75: 32 1.7.2 Convolution de séquences finies Si x(n) et y(n) sont des séquences limitées sur [n1, n2] et [n3, n4] respectivement, le produit de convolution x(n)*y(n) est défini sur l’intervalle [n1+n3, n2+n4]. Exemple: Produit de convolution de deux signaux x(n) et h(n) définis par : et 33 y(n) = h(n)*x(n) est défini sur l’intervalle [5, 25] : 34 Il existe des méthodes pour faire la convolution de séquences finies: Méthode de la somme des colonnes Méthode de la bande glissante Multiplication polynômiale 35 Méthode de la somme des colonnes Cette méthode ressemble à la multiplication faite à la main. On met la séquence y[n] dans une rangée. Dessous, on place x[n], en alignant les valeurs de début des séquences. En suite, on multiplie chaque valeur uploads/Sante/ chapitre-1-signaux-et-systemes-numeriques.pdf