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MATHEMATIQUES DU SIGNAL ESATIC UP MATHS Table des matières NOTATIONS 3 INTRODUC

MATHEMATIQUES DU SIGNAL ESATIC UP MATHS Table des matières NOTATIONS 3 INTRODUCTION 4 1 Rappels 6 1.0.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Signaux, fonctions et opérateurs de base 9 2.1 Signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Fonction échelon unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Fonction rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.4 Fonction rectangle ou porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.5 Fonction triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Propriétés et règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 La convolution en BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Introduction à la théorie des distributions 21 4 Espaces L1, L2 et convergences 24 4.1 Orthogonalité, projections dans L2(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Analyse de Fourier 27 5.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1.1 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.2 Théorème de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 TABLE DES MATIÈRES 5.1.3 Identité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.2 Transformées de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.3 Propriétés de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2.4 Transformée de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2.5 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.4 Lien avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4 Transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4.1 Propriétés de la transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 BIBLIOGRAPHIE 47 ESATIC 2 UP Maths Notations Notation Déﬁnition R Ensemble des nombres réels C Ensemble des nombres complexes K R ou C Vect(A) Le sous-espace vectoriel engendré par A e.v.n Espace vectoriel normée i.e C’est-à-dire. s.e.v Sous-espace vectoriel PP presque partout Ω ouvert non vide de Rn ⟨., .⟩ Produit scalaire dans un espace Rn ∀ Symbole universel "pour tout" ∃ Symbole universel "il existe" 3 Introduction Le mot signal vient du latin signum : signe; variation d’une grandeur physique de na- ture quelconque porteuse d’information. Un signal est donc la représentation physique de l’information. Sa nature physique peut être très variable : acoustique, électronique, optique, etc. Le mot signal est pratiquement toujours associé au mot bruit. Ce dernier est utilisé dans le langage commun, mais il revêt, dans la théorie du signal, un sens bien particulier. Le mot Bruit vient du latin populaire brugere : braire et rugire : rugir; perturbation indésirable qui se superpose au signal et aux données utiles, dans un canal de transmission ou dans un système de traitement de l’information. Le bruit (noise en anglais) dépendra très fortement du contexte. Par exemple : — pour un opérateur sonar, le signal utile est émis par les navires et les sous-marins, alors que les poissons et les crustacés émettent des signaux qui sont des perturba- tions pour le signal utile, donc des bruits, — réciproquement, pour l’opérateur sonar d’un bâtiment de pêche, le signal utile est celui émis par les bancs de poissons, les autres signaux sont donc des perturbations et constituent donc du bruit. Ainsi, il apparaît évident qu’un problème fondamental en traitement du signal sera d’extraire le signal utile du bruit. La difﬁculté du problème dépend en particulier de la proportion entre signal et bruit. Ceci est mesure par le rapport signal à bruit (RSB, ou SNR en anglais pour signal noise ratio). Le traitement du signal est un domaine très répendu. Maitriser les outils mathéma- tiques pour le traitement du signal, c’est maitrisé une bonne partie du traitement de signal. Dans ce cours, nous donnons les outils mathématiques couramment utilisées. Il s’agit de : l’analyse de Fourier, l’analyse fonctionnelle, les distributions et l’analyse complexe. On étudie un signal de deux points de vue : — le point de vue temporel (ou spatial) : étude du signal dans le temps, tel qu’il est 4 INTRODUCTION enregistré ou dans l’espace physique (pour une image par exemple); — le point de vue fréquentiel : on extrait du signal des informations cachées mais qui sont caractéristiques de chaque signal. Les outils mathématiques sont essen- tiellement la transformation de Fourier et la transformation de Laplace (et leurs analogues "discrets", la transformation de Fourier discrète (ou TFD) et la transfor- mation en Z. ESATIC 5 UP Maths Chapitre 1 Rappels • Si la fonction f est continue sur l’intervalle fermé borné [a, b], Z b a f(x)dx est une intégrale déﬁnie et c’est un nombre si a, uploads/Sante/ maths-signal-1-3-1.pdf