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Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Dev

Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 Ce corrigé se compose de deux parties. La première comporte uniquement les représentations graphiques, et la seconde partie, en fin de document, comporte l'ensemble des développements. 1. Séries et transformées de Fourier 1-1- Série de Fourier Décomposition en série de Fourier des 6 signaux périodiques ci-dessous, et le tracé du module du spectre d'amplitude. Redressement doubles alternances Redressement simple alternance 2 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 y(t)=A cos(2πft) y(t)=abs(A cos(2πft)) y(t)=A cos(2πft) si cos(2πft) ≥ 0 y(t)=0 si cos(2πft) < 0 exemples tracés pour A = 1 et f = 1 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 6,37 0,85 0,20 3,18 2,12 10 0,09 0,05 0,03 5 0,10 0,06 0,18 0,42 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n° harmonique (fréquence) 10 sinus sinus double alternance sinus simple alternance Spectre de l'amplitude |Cn| exemples tracés pour A = 10 Sylvain LARRIBE Page 1/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 Triangle Triangle redressé doubles alternances Triangle redressé simple alternance -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 8,11 0,90 0,45 0,23 0,32 0,10 0,17 0,45 0,16 4,05 5 0,16 0,08 0,05 2,5 4,05 2,03 0,08 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n° harmonique (fréquence) 10 triangle triangle double alternance triangle simple alternance |Cn| Spectre de l'amplitude exemples tracés pour A = 10 Décomposition en série de Fourier dans le cas général d'un signal rectangulaire périodique y(t) ci-dessous, y(t) t A 0 d T 2T -T T+d Figure 1 : signal rectangulaire et les représentations graphiques des spectres du module de l'amplitude et de la phase pour les 3 rapports cycliques (d/T) différents (1/8, ¼ et ½) représentés ci-dessous. Sylvain LARRIBE Page 2/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 Rectangle : rapport cyclique = 1/8 Rectangle : rapport cyclique = 1/4 Rectangle : rapport cyclique = 1/2 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,5 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Spectre de l'amplitude d'un signal rectangle periodique 6,37 0,91 3,18 1,25 1,96 1,59 0,71 5 2,12 1,27 0,58 0,49 0,42 0,5 0,30 2,5 4,5 1,5 0,90 1,06 0,64 0,64 0,41 0,35 0,45 1,18 2,44 2,25 0,75 0,35 0,27 0,45 0,53 0,53 0,45 0,32 0,16 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 n° harmonique (fréquence) 6 1/2 1/4 1/8 |Cn| Le module du spectre de l'amplitude de chaque harmonique est supporté par le module d'un sinus cardinal. ( ) πf πf sin 2A Y T d (f) = dans cet exemple, A=10 Spectre de la phase d'un signal rectangle periodique 67,5° 22,5° -22,5° -45° -67,5° 45° 22,5° -22,5° -45° -67,5° -45° -90° 45° -90° -45° -90° 45° 67,5° 45° -90° -45° 45° -45° 45° -100° -80° -60° -40° -20° 0° 20° 40° 60° 80° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n° harmonique (fréquence) 1/8 1/4 1/2 φn Sylvain LARRIBE Page 3/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 1-2- Transformée de Fourier 1-2-1. Démonstration : 1-2-2. Filtre idéal : 1-2-3. Fonction gaussienne : 1-2-4. Sinusoïde tronquée : On considère comme signal x(t), une sinusoïde tronquée de période T, et de durée totale de fonctionnement Ta. Pour simplifier les calculs, Ta est un multiple entier de périodes Ta T k ⋅ = avec k ∈Ν*. La représentation temporelle est donnée par la figure ci-dessous. Ta/2 -Ta/2 -1 -0,5 0 0,5 1 -5 -3 -1 1 3 5 Figure 2 : exemple de sinusoïde tronquée (A = 1, F = ¼ et k=2) On note A l'amplitude et T F 1 = la fréquence du signal sinusoïdal. La transformée de Fourier de x(t) est X(f), ici notée Y(f) : Le module est donné par , et la phase est donnée par le signe de Y(f). -0,3 0 0,3 0,6 0,9 -3 -2 -1 0 1 2 3 X(f) ∆ ∆ Figure 3 : exemple du spectre d'amplitude d'une sinusoïde tronquée (F=1,5 et k = 11) La largeur de la raie (∆) entre les passages à 0 est définie par : a T F k 2 2 = ⋅ = ∆ Il faut avoir 200 périodes pour avoir une largeur de raie égale à F ⋅ = 100 1 ∆ Sylvain LARRIBE Page 4/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 -0,3 0 0,3 0,6 0,9 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 |X(f)| -180 -90 0 90 180 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 φ(X(f)) -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Figure 4 : exemple du module et de la phase pour une cosinus tronquée à 5 périodes Sylvain LARRIBE Page 5/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005 Sylvain LARRIBE Page 6/6 Devoir_1_2004-2005_correction.doc (.PDF) 2. Produit de convolution Rappel : θ θ θ d h e h e s t t t t ∫ ∞ ∞ − − ⋅ = ∗ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t e h h e s ∗ = ∗ = ( ) ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 t t t t t t t h e h e h e e ∗ + ∗ = ∗ + ( ) ( ) ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( t t t t t t h h e h h e ∗ ∗ = ∗ ∗ Soit s(t) le produit de convolution des deux signaux e(t) et h(t) définis ci-dessous, e(t) = 0 pour t < 0 e(t) = E pour t ∈ [0..T] e(t) = 0 pour t > T h(t) = 0 pour t < 0 h(t) = -t/τ+1 pour t ∈ [0..τ] h(t) = 0 pour t > τ E T 0 1 2 -2 0 2 4 6 8 e(t) τ 0 1 2 -2 0 2 4 6 8 h(t) s(t) 3,2 1,8 3 4,2 0,2 0,8 1,8 0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0<t<T T<t<d d<t<T+d T+d<t T = 3 d = τ = 5 T+ d = T+ τ = 8 sur ce graphique, d = τ 2t 5 t s 2 (t) + − = 5 39 t 5 6 s(t) + − = 5 64 16t t s 2 (t) + − = Figure 5 : représentation du produit de convolution ) ( ) ( ) ( t t t h e s ∗ = uploads/Sante/ devoir-1-2004-2005-correction.pdf