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Propagation d ’ondes sismiques Hélène Barucq Magique-3d (INRIA futurs) & LMA (U

Propagation d ’ondes sismiques Hélène Barucq Magique-3d (INRIA futurs) & LMA (UMR 5142) Objectif du tutorial • Définition des ondes sismiques • Modèles les plus classiques • Quelques méthodes mathématiques • Focus sur les méthodes one-way La sismologie • Science basée sur l ’analyse de sismogrammes qui sont des enregistrements des vibrations de la terre. • Progrès très considérables durant le siècle dernier : développements très importants des mathématiques appliquées à la physique (Physique Mathématique) Hollywood Earthquake Small M 4.2 earthquake on Sept 9, 2001 Amplification in basin Oil industry problems: Seismic Reflection Method • Dynamic geophysical technique of imaging subsurface geologic structures by generating waves and recording the reflected components • The Seismic Reflection Method is the industry standardfor locating the subsurface oil and gas accumulations Plan • Théorie de l ’élasticité – Equations d ’ondes – Ondes P et S – Ondes acoustiques • Quelques méthodes de résolution • Méthodes one-way Propagation d ’ondes sismiques • Tenseur des déformations • Hypothèse des petites perturbations :                    k l i l i k k i ik x u x u x u x u 2 1                i k k i ik x u x u 2 1  Théorie de l ’élasticité Propagation d ’ondes sismiques • Conservation de la masse : • Conservation de la quantité de mouvement : • Conservation du moment angulaire   0 div     v t       i ij j i j i f v v t v          ji ij    Théorie de l ’élasticité Propagation d ’ondes sismiques i ij j i f t u        2 2 • Sous l ’hypothèse des petites perturbations • Milieu élastique : les contraintes ne dépendent que des déformations • Milieu élastique isotrope : les propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions ij kk ij ij     2   Théorie de l ’élasticité Propagation d ’ondes sismiques z u c t u z u c t u z p z x s x           , • Condition de surface libre : pas de traction en surface • Bord rigide : condition de Dirichlet •Bord artificiel : condition artificielle (Clayton-Engquist, 1977) 0   j ij i n   g u  Conditions aux limites Propagation d ’ondes sismiques     x u c c z u c t u x u c c z u c t u x s p z p z z s p x s x                   , • Condition de surface libre : pas de traction en surface • Bord rigide : condition de Dirichlet •Bord artificiel : condition artificielle (Stacey, 1988) 0   j ij i n   g u  Conditions aux limites • Givoli (2003) Ondes planes • Supposons que u est de la forme : u(t,x)=w(t-s.x) et est solution de : ij j i t u       2 2 • On obtient alors : 0 . 2 , 0 2 2 2 2                     s u c s u c t t      Ondes planes • Soit 0 2 0 2 2       c et s u t    • Soit 0 0 . 2 2     c et s u t   • Conclusion : • Onde P(rimaire) • Onde S(econdaire) Potentiels • Equation à résoudre i ij j i f t u        2 2 Qui se récrit de façon équivalente :         0 0 , , 0 0 , donné forces de champ div 2 2 2               x u x u f f u u t u t     Potentiels • Décomposition de la source 0 div          f • Décomposition du champ u : Théorème de Lamé " " " " 2 0 div , 2 t 2 t S Onde P Onde u                                Milieu fluide : onde P • Equation des ondes acoustiques ) ( ) , 0 ( ), ( ) , 0 ( 0 ), , ( ) , , ( , 1 1 0 2 2 2 2 2 x u x u x u x u t x t f f z y x x f u u c t z y x t                          Quelques ondes sismiques • Ondes converties : onde P devient S ou onde S devient P. Permettent de localiser des discontinuités sur les sismogrammes. • Ondes de tête (Head waves) : apparaissent lorsque deux milieux sont en contact et que la source est placée dans le milieu le plus lent. • Ondes de compression : ondes P • Ondes de cisaillement : ondes S • Imagerie profondeur : – Représentation des temps de trajet source/récepteurs : permet de localiser les interfaces ou discontinuités – Calcul des amplitudes des champs : permet de déterminer les propriétés constitutives du milieu Représentation des résultats • En général : champs en quelques points du domaine en fonction du temps ; isovaleurs Représentation des résultats Méthodes numériques (milieu stratifié) • Approximation WKBJ + correction apportée par H. Bremmer dans le cas 1D (1951) • Système d’équations one-way par J.F. Claerbout (1971) : équations découplées simulant la propagation vers le bas et vers le haut • Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones (1975) •Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag (1978) Méthodes numériques (milieu stratifié) • Approximation WKBJ (Wentzel Kramers Brillouin Jeffreys) : On veut résoudre l ’équation 1D : 0 2 2 2 2        s x Où w est grand et positif. On cherche j sous la forme :  ) (x i e x    On en déduit que : 0 2 2 2 2 2 2              s x x i      On néglige le terme en w. Il vient alors Méthodes numériques (milieu stratifié) ) ( soit 2 2 x s x s x                Cela entraîne que : x s x       2 2 Et en injectant cette relation dans l ’équation du second ordre, on obtient :     s s i s x s i s x 2 ' soit ' 2 2                Méthodes numériques (milieu stratifié) s i dx x s ln 2 ) (      La solution correspondante s ’écrit :                  x x x x p p dt t s i x s B dt t s i x s A x ) ( exp ) ( ) ( exp ) ( 2 / 1 2 / 1    Sous la condition de validité : 2 ' s s   NB : invalide dans un voisinage de la source Méthodes numériques (milieu stratifié) Si s est constant : • Système d’équations one-way par J.F. Claerbout (1971) : équations découplées simulant la propagation vers le bas et vers le haut f s x        2 2 2 2 f s i x s i x                       Décomposition de la solution : ) 2 ( ) 1 ( d u d u d s i x f s i x                    uploads/Sante/ equation-onde-sismique.pdf