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27 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES : UN ACCÈS A LA MODÉLIS

27 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES : UN ACCÈS A LA MODÉLISATION DANS L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE ? NGUYEN THI Nga Université de Pédagogie de Ho Chi Minh ville Résumé. Cet article expose en premier lieu une comparaison des modalités de présentation du concept de périodicité dans l’enseignement secondaire en mathématiques et en physique, au Viêt Nam et en France. Ensuite, l’analyse des résultats d’une enquête menée en classe terminale, au Viêt Nam, sur la modélisation des phénomènes périodiques, nous permet d’éclairer les acquis et les difficultés des élèves relativement à la prise en compte adéquate de ces phénomènes à l’aide de fonctions. Nous concluons sur les obstacles à - et les possibilités de - l'entrée dans un processus de modélisation des phénomène périodiques dans l'enseignement. Mots clés. Périodicité, fonctions périodiques, modélisation Abstract. This paper presents on one hand a comparison of presentation modalities of the concept of periodicity in mathematics and physics secondary curricula, in Viêt Nam and in France. Next, results from an enquiry in 12th grade in Viêt Nam on phenomena modelling allow us to enlighten achievements and difficulties of pupils. These concern the ability to take into account these phenomena thanks to mathematical functions. We conclude on obstacles and opportunities to enter into a modelling process of periodical phenomena in teaching. Keywords. Periodicity, periodic functions, modelization Introduction La périodicité est un concept employé en physique et par beaucoup d’autres disciplines scientifiques car il est central dans l’étude des phénomènes cycliques et des phénomènes oscillatoires. On retrouve ce concept en mathématiques via la notion de fonction périodique. Les fonctions périodiques – notamment les fonctions trigonométriques – se sont constituées progressivement dans les sciences comme outils de modélisation de grandeurs variables qui retournent régulièrement et indéfiniment au même état. Les phénomènes cycliques ou oscillatoires sont présents très tôt dans les enseignements scolaires de la physique, de la chimie et de la biologie. Quand, dans l’enseignement secondaire, il est fait appel à une formalisation mathématique pour soutenir l’étude d’un phénomène périodique, cette formalisation est conduite, via des modèles mathématiques, donnant lieu à des phénomènes didactiques dont notre présent travail tente de rendre compte tant au Viêt Nam qu’en France. Dans cet article, nous chercherons des éléments de réponse aux questions suivantes : Comment l’étude des phénomènes périodiques vit-elle dans l’enseignement secondaire de la physique et des mathématiques au Viêt Nam et en France ? Comment s’articulent les différentes significations données au concept de périodicité par ces deux disciplines ? Est-il possible d’introduire les élèves à des activités de modélisation dans les conditions et les contraintes institutionnelles de l'enseignement au Viêt Nam ? 1. Le concept de périodicité : son enseignement au Viêt Nam et en France Les liens épistémologiques forts qu’entretiennent les sciences physiques et les sciences mathématiques nous ont incitée à restreindre à la physique notre enquête sur la modélisation des phénomènes périodiques même si d’autres sciences, telles les sciences de la vie ou celles de l’économie par exemple, étudient elles aussi des phénomènes qu’elles qualifient de Petit x, 91, 2013 28 périodiques. De plus la réforme de 1902 a introduit la notion de fonction dans l’enseignement des mathématiques en France en arguant de sa nécessité pour l’enseignement de la physique et donc en se référant à des problèmes extra-mathématiques. Ainsi que le note Belhoste : [...] le nouvel enseignement de la physique doit abandonner les méthodes descriptives et dogmatiques qui réduisaient l’expérimentation à la démonstration d’appareils. La physique expérimentale s’efforce de dégager des lois à partir des faits et ces lois doivent pouvoir s’exprimer sous forme mathématique. La représentation graphique fait apparaître, à partir des mesures expérimentales, des relations fonctionnelles entre variables et constantes physiques. Le professeur, précisent les instructions, « utilisera fréquemment les représentations graphiques, non seulement pour mieux montrer aux élèves l’allure des phénomènes, mais pour faire pénétrer dans leur esprit les idées si importantes de fonction et de continuité ». La notion de fonction s’introduit ainsi naturellement dans l’enseignement de la physique. Pour cette raison, la commission décide de l’introduire également dans l’enseignement des mathématiques. C’est l’innovation majeure des programmes du second cycle. L’étude des fonctions, en mathématiques, reste marquée par ses origines physiciennes. Elle est pratique, quasi- expérimentale : pas de définitions générales et abstraites, mais un crayon et du papier millimétré pour construire les graphes des quelques fonctions simples que le programme prévoit d’étudier. (Belhoste 1995, p. 58) La raison d’être de la notion de fonction est ainsi identifiée comme réponse à un problème de modélisation de phénomènes issus de la physique. Dans un premier temps nous chercherons des éléments de réponse à la question : quels sont les phénomènes que la physique étudie dans l'enseignement et qu’elle considère comme périodiques ? avec quels modèles ? 1.1. Enseignement de la physique : deux modèles Le tableau 1 présente le curriculum d’étude des phénomènes périodiques dans l’enseignement secondaire de la physique : Classe Au Viêt Nam En France 9 (3ième) aucun phénomène périodique enseigné en collège Tension périodique, Tension sinusoïdale : période, fréquence 10 (2nde) rotation des planètes dans le système solaire, mouvement circulaire uniforme : vitesse angulaire, accélération, période, fréquence alternance des jours et des nuits, des phases de la Lune, mouvement de rotation, vitesse angulaire 12 (Tle) oscillation harmonique (pendule (fil, ressort), pendule simple, pendule physique) : période, fréquence, amplitude, fréquence angulaire. - son, onde sinusoïdale - courant alternatif - ondes progressives périodiques, onde sinusoïdale, son - circuit électrique oscillant - pendule simple Tableau 1. Phénomènes périodiques étudiés en physique Les deux institutions affichent l’objectif d’étudier des grandeurs variables avec le temps : tension électrique, distance, angle, etc. En arrière-plan, même non nommée ou non formalisée, se trouve toujours une fonction périodique dont la variable indépendante est le temps. Plus prégnante au Viêt Nam qu’en France, la mathématisation des concepts est cependant présente dans les deux institutions et elle s’enrichit au cours du curriculum en s’appuyant sur ce que nous pouvons qualifier de deux modèles de la périodicité3 : le mouvement circulaire uniforme (C) et l’oscillation harmonique (O). 3 La mise en évidence de ces deux modèles est l'un des résultats de notre travail de thèse (Nguyen Thi N. 2011) Petit x, 91, 2013 29 Modèle C Modèle O Figure 1. Deux modèles mathématiques de la périodicité Introduite dès le collège en France, l’oscillation harmonique ne l’est que par des graphiques présentés comme résultant de prises de mesure (par exemple un oscillogramme). Le rôle du registre graphique est nettement en retrait au Viêt Nam où c’est le registre algébrique qui domine. Or le registre algébrique ne trouve toute sa place qu’après l’étude des fonctions trigonométriques en classe 11 de mathématiques. C’est pourquoi l’oscillation harmonique n’est présentée au Viêt Nam qu’en fin du lycée. A titre illustratif, voici deux exercices tirés de manuels de physique, le premier d’une classe de troisième française (classe 9 du Viêt Nam) et le second d’une classe 12 vietnamienne (classe terminale française) : Figure 2. Exercice de la classe de troisième française Figure 3. Exercice de la classe terminale vietnamienne Petit x, 91, 2013 30 Notons, avec la présence de la notion de vecteur rotatif, la volonté institutionnelle vietnamienne de créer un lien entre mouvement circulaire et mouvement oscillatoire. Un tel lien n’existe pas dans l’institution française qui d’ailleurs ne cherche pas à faire vivre la cinématique dans l’enseignement de la physique4. Notre analyse épistémologique montre que pour les physiciens, deux modèles principaux5, celui du mouvement circulaire uniforme (C) et celui de l’oscillation harmonique (O), sont les modèles élémentaires de l’étude des phénomènes périodiques temporels. - Le modèle C, caractérisé par une trajectoire circulaire et une vitesse angulaire constante, peut apparaître sous deux registres : algébrique (x = R cos θ, y = R sin θ, θ = ωt) et graphique (cercle) - Le modèle O, présent sous trois registres – algébrique (x = A cos (ωt + φ) où x’’ + ω2x = 0), vectoriel et graphique (sinusoïde) – est un modèle fonctionnel au sens où l’objet mathématique central du modèle est une fonction trigonométrique. Le modèle C est cantonné à la Mécanique comme modèle de base pour l’étude des phénomènes cycliques réductibles aux mouvements d’un mobile sur une trajectoire. Il permet de travailler en particulier les concepts de vitesse et d’accélération. Le modèle O est dominant en Physique des vibrations, des oscillations et des ondes. Ce modèle est à l’origine de nombreux et importants développements mathématiques, dont l’Analyse de Fourier, qui donnent une place centrale aux fonctions trigonométriques. L’articulation de ces deux modèles est présentée dans « Atlas de la Physique », comme suit : L’oscillation harmonique peut être représentée comme la projection sur un plan d’un mouvement circulaire uniforme. (Breuer 1987, p. 38-39) Pour Feynman (1979), ces deux modèles étant très proches mathématiquement, le passage de l’un à l’autre peut simplifier la résolution de certains problèmes : Nous pouvons remarquer que le mouvement circulaire uniforme et le mouvement oscillatoire vertical sont très proches mathématiquement parlant, et que nous pouvons donc étudier le mouvement oscillatoire d’une manière plus simple en l’imaginant comme la projection de quelque chose uploads/Sante/ fonctions-trigonometriques-et-phenomenes-periodiques-un-acces-a-la-modelisation-dans-l-x27-enseignement-secondaire.pdf