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P2022 agreg ext mathematiques 1402337

Agrégation externe de mathématiques Concours externe de l'agrégation du second degré Section mathématiques Programme de la session Le programme des épreuves de l'agrégation n'est pas rédigé comme un plan de cours Il décrit un ensemble de connaissances que le candidat doit ma? triser et savoir illustrer Il comporte des répétitions lorsque des notions B interviennent naturellement suivant di érents points de vue Le programme évoque parfois des exemples ceux-ci sont donnés à titre purement indicatif et peuvent être remplacés par d'autres qui seraient également pertinents Dans les titres à qui suivent tous les corps notés K en général sont supposés commutatifs Algèbre linéaire Espaces vectoriels a Espaces vectoriels applications linéaires Produit d'espaces vectoriels Sous-espaces image et noyau d'une application linéaire Espaces quotients Somme de sous-espaces somme directe supplémentaires Familles libres familles génératrices bases Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel E groupe linéaire GL E b Sous-espaces stables d'un endomorphisme Valeurs propres vecteurs propres sous-espaces propres Polynômes d'endomorphismes Lemme des noyaux c Représentations linéaires d'un groupe Irréductibilité En C dimension nie exemples de décomposition d'une représentation linéaire en somme directe de sous-représentations lemme de Schur Espaces C C vectoriels de dimension nie a Espaces vectoriels de dimension nie Existence de bases isomorphisme avec Kn Existence de supplémentaires d'un sous-espace Rang d'une application linéaire rang d'un système de vecteurs Espace dual Rang d'un système d'équations linéaires Transposée d'une application linéaire Base duale Bidualité Orthogonalité b Applications multilinéaires Déterminant d'un système de vecteurs d'un endomorphisme Groupe spécial linéaire SL E Orientation d'un R-espace E vectoriel c Matrices à coe cients dans un anneau commutatif Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes déterminant inversibilité E Matrices à coe cients dans un corps Rang d'une matrice Représentations matricielles d'une application linéaire Changement de base Méthode du pivot de Gauss Notion de matrices échelonnées Applications à la résolution de systèmes d'équations linéaires au calcul de déterminants à l'inversion des matrices carrées à la détermination du rang d'une matrice à la C détermination d'équations dé nissant un sous-espace vectoriel d Polynôme caractéristique Polynômes annulateurs polynôme minimal Théorème de - Cayley Hamilton Diagonalisation trigonalisation Endomorphismes nilpotents Sous-espaces caractéristiques décomposition de Dunford Exponentielle des matrices réelles ou complexes c www devenirenseignant gouv fr page C B Agrégation externe de mathématiques Groupes Les di érentes notions de théorie des groupes introduites dans les paragraphes suivants sont appelées à être illustrées et appliquées dans des situations géométriques a Groupes morphismes de groupes Produit direct de groupes Sous-groupes Sous- groupe engendré par une partie Ordre d'un élément Sous-groupes distingués ou normaux groupes quotients Action d'un groupe sur un ensemble Stabilisateur d'un point orbites espace quotient Formule des classes Classes de conjugaison Application à la détermination des groupes d'isométries d'un polytope régulier en dimension deux et trois b Groupes C cycliques Groupes abéliens nis Groupe des racines complexes n-ièmes de C l'unité racines primitives c Groupe des permutations d'un ensemble ni Décomposition d'une permutation en produit de transpositions en produit de cycles à supports disjoints Signature Groupe alterné Application C déterminants d