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Département Génie-Civil UNIVERSITE D'ARTOIS Introduction à la méthode des éléme

Département Génie-Civil UNIVERSITE D'ARTOIS Introduction à la méthode des éléments ﬁnis O. Carpentier Master 1 GC Master 1 GC Introduction à la MEF Université d’Artois Table des matières 1 Analyse numérique pour la physique 2 2 Les équations diﬀérentielles 3 3 Les opérateurs diﬀérentiels 4 4 Familles d’équations diﬀérentielles 4 4.1 Equations diﬀérentielles Ordinaires (EDO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 Equations aux dérivées partielles (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Principe de discrétisation en espace et en temps 7 5.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 Méthodes d’approximation 9 7 Forme intégrale du problème mathématique 9 7.1 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.2 Application à la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 8 Mise en place du problème numérique 11 8.1 Méthode de Galerkin - Fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8.2 Mise sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 9 Résolution d’un problème en mécanique statique 14 9.1 Assemblage des sous-domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 9.2 Introduction des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 9.3 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type barre . . . . . . . . . . . . . . 16 9.4 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type poutre . . . . . . . . . . . . . 17 9.5 Changement de repère - Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9.6 Calcul des réactions aux appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10 Optimisation 20 10.1 Les éléments isoparamètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10.2 Aide à la résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 11 Travaux dirigés 23 11.1 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.2 Problème complet : Barre soumise à la traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.3 Dimensionnement d’une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.4 Géométrie à symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.5 Ecoulement dans un tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.6 Problème complet : Etude d’un portique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.7 Problème complet : Equation de Poisson 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 12 Références Bibliographiques 23 O. Carpentier 1 Master 1 GC Introduction à la MEF Université d’Artois 1 Analyse numérique pour la physique L’analyse numérique d’un problème en physique associe des notions de mathématiques, de physique et d’analyse numérique. On part d’un problème de physique comprenant des lois. Les hypothèses de modélisa- tion conduisent à la construction d’un modèle mathématique représentant le problème physique. Souvent, le problème mathématique ne présente pas de solution analytique simplement exprimable. On passe alors à sa résolution par des méthodes numériques, généralement à base de discrétisations du problème mathématique. La résolution numérique nous fournit des résultats qu’il faudra alors vériﬁer et interprêter. Cela peut conduire à la construction de nouveaux modèles physiques ou mathématiques. De façon plus concrète, Le cadre précis de l’étude est déﬁni par les hypothèses simpliﬁcatrices qui per- mettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La diﬃculté pour l’ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique, celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème physique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des eﬀorts de mise en oeuvre non prohibitifs. En résumé, les questions essentielles auxquelles l’ingénieur devra répondre, s’il veut eﬀectuer une analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont les suivantes : – quel modèle mathématique utiliser ? – quel modèle numérique faut-il lui associer ? – quelle est l’erreur d’approximation commise? – quelle est l’erreur numérique commise ? – peut-on améliorer le modèle numérique ? – faut-il changer le modèle mathématique? etc. Qu’est ce qu’un modèle ? La ﬁgure suivante (ﬁg.1) illustre sur un exemple mécanique simple trois modéli- sations envisageables. Chacune correspond à modèle mathématique diﬀérent mais quelle est la bonne ? Le choix du modèle mathématique est un compromis entre le problème posé à l’ingénieur « quelles grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision ? » et les moyens disponibles pour y répondre. En fait, les équations du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d’hypothèses basées sur les sciences de l’ingénieur et il faut connaître leur domaine de validité pour pouvoir vériﬁer que la solution obtenue est satisfaisante. Si le modèle mathématique n’admet pas de solution analytique, il est alors nécessaire de chercher une solution approchée de ce modèle. Dès lors, la discrétisation du problème correspond au choix d’un modèle numérique permettant de traiter les équations mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hiérarchiser les diﬀérents niveaux d’hypothèse utilisés pour modéliser un phénomène physique. En eﬀet, la solution exacte d’un modèle mathématique qui ne correspond pas à la réalité physique est inutile. O. Carpentier 2 Master 1 GC Introduction à la MEF Université d’Artois Figure 1 – choix d’un modèle mathématique 2 Les équations diﬀérentielles A la base de nos modèles physiques et numériques, nous avons des équations diﬀérentielles. Faisons quelques rappels basiques sur ces notions avant de poursuivre plus en avant dans l’analyse numérique de modèles physiques. Une équation diﬀérentielle peut être déﬁnie comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L’ordre d’une équation diﬀérentielle correspond au degré maximal de diﬀérentiation auquel l’une des fonctions inconnues a été soumise. Les équations diﬀérentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations diﬀérentielles représentent un vaste champ d’étude, aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées. 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