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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences - Fès Département Phy

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences - Fès Département Physique Mécanique du Solide Indéformable Filières : SMP Prof. Mohammed BENBRAHIM Introduction La mécanique est une branche de la physique qui étudie le mouvement, la dé- formation ou l’état d’équilibre des systèmes physiques. Ces derniers, dites systèmes mécaniques, peuvent être un point matériel, un solide, un ensemble de solides, une partie d’un solide, un échantillon de ﬂuide, ou tout autre association de corps phy- siques souvent affectés d’une masse. En mécanique classique, on étudie essentiellement des objets qui sont direc- tement perceptibles par nos sens. Dans ce sens, deux axiomes sont nécessaires. Le premier consiste à considérer que tout système mécanique est représentable géomé- triquement dans l’espace physique qui est un espace euclidien à trois dimensions par un ensemble de points de cet espace. Le deuxième axiome stipule que l’ensemble des points de l’espace euclidien représentant le système est un ensemble ﬁni de points. Les points ﬁguratifs sont appelés points matériels. Dans ce cours, on étudie la mécanique du solide indéformable ou corps rigide. Ce dernier est déﬁni comme un système mécanique comportant au moins trois points matériels non alignés telle que la distance de deux quelconques de ces points demeure invariable. Ce cours est organisé en quatre chapitres. Le premier est consacré à la pré- sentations de quelques notions mathématiques préliminaires. Les trois autres chapitres sont consacrés à l’étude de la cinématique, la cinétique et la dynamique du solide in- déformable. SMP-S3 i MECANIQUE DU SOLIDE Table des matières 1 Champs de vecteurs et torseurs 3 1.1 Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Vecteur lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Moment en un point d’un vecteur lié . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Moment par rapport à un axe d’un vecteur lié . . . . . . . . . 6 1.2.5 Moment et résultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 Antisymétrie et équiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Moment d’un torseur par rapport à un axe . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Décomposition et classiﬁcation des torseurs . . . . . . . . . . 12 2 Cinématique du Solide 15 2.1 Déﬁnitions et propriétés cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Référentiel et repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Paramétrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Champ de vitesse des points d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SMP-S3 iii MECANIQUE DU SOLIDE SMP-S3 TABLE DES MATIÈRES iv 2.3 Champ d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Mouvements d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Rotation autour d’un axe ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 Rotation autour d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Dérivation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.2 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.3 Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Cinématique des solides en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.2 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.3 Roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7 Mouvement plan d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.2 Centre instantané de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Cinétique du Solide 29 3.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.3 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Sante/ polycopie-mecanique-solide-smp-s3.pdf