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Module : Biostatistique Ecole Préparatoire des sciences de la Nature de la Vie

Module : Biostatistique Ecole Préparatoire des sciences de la Nature de la Vie Responsable de module : Mme AIT AMOKHTAR Série des exercices N03 : calcul des probabilités 1. Dénombrement Exercice 01 : Une course oppose 20 concurrents dont Amina. 1. Combien y-a-t-il de podiums possibles ? 2. Combien y-a-t-il de podiums possibles ou Amina est la première ? 3. Combien y-a-t-il de podiums possibles dont Amina fait partie ? 4. On souhaite récompenser les 3 premiers en leur offrant le même prix. Combien y-a-t-ils de distribution de récompenses possibles ? Exercice 02 Un cadenas possède un code de 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant être un chiffre de 1 à 9. 1. Combien y-a-t-il de codes possibles ? 2. Combien y-a-t-il de codes possibles terminant avec un chiffre pair? 3. Combien y-a-t-il de codes possibles contenant au moins le chiffre 4? 4. Combien y-a-t-il de codes possibles contenant exactement le chiffre 4? 5. Combien y-a-t-il de codes possibles contenant des chiffres distinctes? 6. Combien y-a-t-il de codes possibles contenant des chiffres distinctes et terminant par un chiffre impair? Exercice 03 : On souhaite ranger sur une étagère4 livres de mathématiques ( distinctes), 6 livres de physique, et 3 de chimie. De combien de façon peut-on effectuer ce rangement : 1. Si les livres doivent etre groupé par matières. 2. Si seuls les livre de mathématique doivent être groupés ensemble. Probabilités, probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : Exercice 01 : Cinq filles et cinq garçons s’assoient sur le long du comptoir d’un café sue les 10 tabourets situés cote à cote. On suppose qu’ils s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité qu’ils se trouvent ainsi placés : 1. Toutes les filles cote à cote ? 2. Parfaitement alternés ? On distingue deux cas: a Un comptoir en long. b Un comptoir circulaire Exercice 02 : Un laboratoire a mis au point un alcootest et décide d’en contrôler sa crédibilité les résultats sont les suivants : 2% des personnes contrôlées par la police sont effectivement en état d’ébriété. 95 fois sur 100 l’alcootest s’est révélé positif alors que la personneétait réellement en état d’ébriété. 5 fois sur 100 l’alcootest s’est revelé positif alors que la personne n’était pas en état d’ébriété. 1. Quelle est la probabilité que l’alcootest donne une bonne indication ? 2. Quelle est la probabilité qu’une personne soit réellement en état d’ébriété lorsque l’alcootest est positif ? Exercice3Trois chasseurs tirent sur un canard. Chacun a la probabilité 1/3 de l’atteindre et ils sont indépendants. Quelle est la probabilité d’être atteint ? Exercice 4 :Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y’a parmi les malades un vacciné pour quatre non vaccinés. On sait, de plus, qu’au cours de cette épidémie, il y’avait un malade sur onze parmi les vaccinés. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un non vacciné ? Exercice5 : On sait que les taux de réussite au concours dans les trois CHU Pitié, Saint Antoine et Broussais (l’université Pierre et Marie Curie a longtemps comporté ces 3 CHU) étaient respectivement (données arbitraires) de 0,20 ; 0,15 ; et 0,10 (0,20 = Pr(Réussite/Pitié)) ; on sait que 1/4 des étudiants de Paris VI étaient à Saint Antoine, 1/4 à Broussais et 1/2 à la Pitié. Quelle était la probabilité qu’un étudiant de Paris VI soit reçu au concours ? Exercice 06 : Dans un élevage de moutons, on estime que 30% sont atteints par une certaine maladie. On dispose d’un test pour cette maladie. Si un mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’avoir une réaction négative au test ; s’il est atteint, il a 8 chances sur 10 d’avoir une réaction positive. On soumet tous les moutons de l’élevage au test. 1. Quelle est la probabilité qu’un mouton de cet élevage ne soit pas malade ? 2. quelle est la probabilité conditionnelle qu’un mouton ait une réaction positive au test sachant qu’il n’est pas malade ? 3. Quelle est la probabilité qu’un mouton ne soit pas malade et ait une réaction positive au test ? 4. Quelle proportion des moutons de l’élevage réagit positivement au test ? 5. Quelle est la probabilité qu’un mouton soit malade, sachant qu’il a réagi positivement ? 6. Quelle est la probabilité qu’un mouton ne soit pas malade, sachant qu’il a réagi négativement ? Série des exercices N04 Variables aléatoires : Variable aléatoire discrète : Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 03 : On jette un dé bien équilibré. Soit X la variable représentant le double du nombre obtenu, et soit Z une variable prenant la valeur 0 si le nombre obtenu est un nombre premier et 2. Calculer la distribution, l’esperance, la variance de X et Y. Exercice 04 Un joueur lance deux pièces de monnaie bien équilibrées. Il gagne 1 DA ou 2Da selon qu’il obtient 1 ou 2 faces. Par contre, il perd 5 DA s’il n’obtient aucune face. Calculer l’espérance mathématique E de la Partie et dire si le jeu est favorable au joueur Exercice 05 On s’intéresse dans cet exercice aux allergiesdéclenchées par un médicament dans une grande population. Une étude à montré que 23% des individus sont allergiques. On choisit au hasard un échantillon de taille 18. Soit X le nombre aléatoire de personnes allergiques. Quelle loi la variable X suit-elle ? Déterminer son espérance et son écart type. Calculer ces probabilitésP (3≤X ≤7),P (X<4 )et P( X≥7). Exercice 06 on sait par expeience qu’une certaine operation chirugicale a 85% de chance de réussir. On s’apprete à réaliser l’operation sur 20patients. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réussite de l’opération sur les 20 tentatives. Quel modèle de probabilité proposez-vous pour X ? Donnez l’esperance, la variance et l’ecart-type de X. Calculer la probabilité d’avoir au moins 15 réussites. Exercice 07 : on examine successivement les souris dans une population à la recherche d’un caractère génétique particulier C. pour ce caractere, on suppose que la probabilité d’avoir ce caractere est de 15%. On note X le nombre de souris à examiner pour observer la première fois le caractère C. 1. Quelle est la loi de X ? donner sa varaince et son écart type. 2. Calculer ces probabilités P (X=1) , P ( X<3)et P (X ≥4 ). Exercice 8 : Exercice 9: Dans un atelier, le nombre d’accidents par an suit une loi de poisson de paramètre 5; Calculer la probabilité qu’il y ait plus de deux accidents dans l’année. Variable aléatoire continue : Exercice 1 :dans une station service, la demande hebdomadaire en milliers de litres est une variable aléatoire X de densité. f (x )=c(1−x) 4 I [0,1]. 1. Déterminer c. 2. La station est réapprovisionnée chaque lundi à 20h. quelle doit être la capacité du réservoir d’essence pour que la probabilité d’épuiser ce réservoir soit inférieure à 10 −5? Exercice2 : Soit la fonction f définie sur ¿ par f (x )= 2 x 3 . 1. Montrer que f est une densité de probabilité sur ¿. 2. Calculer ces probabilités P (X=1) , P ( X<3)et P (X ≥4 ). Exercice 3: Exercice 4 : La durée de vie en semaine d’une bactérie est modélisée par une loi exponentielle de densité f (x )={ λexp (−λx)six>0 0 sinon Avec λ=1. Donner la moyenne et variance de durée de vie. Quelle est la probabilité que la durée de vie dépasse une semaine. Exercice 05 On suppose que l’âge auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez l’enfant suit la loi normale de moyenne 12 mois et d’écart-type 2; 5 mois. 1. Identifier la population, la variable, son type et ses paramètres. 2. Quelle est la proportion d’enfants pour lesquels les premiers mots apparaissent avant 9 mois ? Exercice 06 On suppose que le poids de 150 œufs suit une loi normale de moyenne 53 Grammes et d’écart-type 5 Grammes. 1. Calculer la probabilité P pour que le poids des œufs soit compris entre 54g et59 g. 2. Calculer le Nombre des œufs ayant le poids compris entre 54g et 59 g. . Série des exercices N05 : Théorie d’estimation Exercice01 : on suppose que le poids d’un nouveau né est une variable normale d’écart type égal à 0.5 kg. Le poids moyen des 49 enfants nés au moins de janvier 2004 a été 3.6 kg. a Déterminer un intervalle de confiance à 95% pour le poids moyen d’un nouveau né dans cet hôpital. b Quelle serait le niveau de confiance d’un intervalle de longueur 0.1 kg centré en 3.6 pour ce poids moyen ? Exercice 02 On liste ci-dessous des quantités mesurées de plomb dans l’air ( en microgrammes par metre cube ou μg ∕m 3). L’agence de protection de l’environnement a établi un standard de qualité de l’air pour le plomb : un maximum de 1.5μg ∕m 3. Les mesures indiquées ci-dessous ont été enregistrées dans l’immeuble numéro 5 du World Trade Center dans les jours qui ont suivi sa destruction uploads/Sante/ probabilite 5 .pdf