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Incertitudes expérimentales F. Levrier Résumé On présente dans ce texte les out

Incertitudes expérimentales F. Levrier Résumé On présente dans ce texte les outils de base permettant d’apprécier de manière quanti- tative les résultats de manipulations expérimentales telles que celles abordées à l’agrégation de physique. Après avoir déﬁni la notion d’incertitude et rappelé quelques éléments de probabilités et de statistiques, on montre comment quantiﬁer les incertitudes associées au caractère aléatoire des processus de mesure à l’aide d’une étude statistique, et celles associées à une grandeur physique obtenue par calcul à partir d’un certain nombre d’autres grandeurs mesurées directement. On donne ensuite plusieurs exemples et remarques utiles, notamment l’évaluation des incertitudes à partir des indications des appareils de mesure. On aborde enﬁn les principes de la modélisation et de la vériﬁcation d’une loi physique par l’ajustement de données expérimentales. Autant que possible, on illustre ces diﬀérentes parties par des exemples concrets rencontrés en TP. Ce texte se fonde en grande partie sur celui rédigé pour le même cours par François-Xavier Bally et Jean-Marc Berroir, également publié dans le BUP 928, ainsi que sur le cours "Bruits et signaux" de Didier Pelat au Master "Astronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale". Table des matières 1 Erreurs et incertitudes 2 1.1 Erreurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Erreurs systématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Rôles respectifs des erreurs aléatoires et systématiques . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Rappels élémentaires de probabilités et statistiques 6 2.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Cas de variables aléatoires à plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Changement de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.2 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7.3 Moments d’ordre plus élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.8 Exemples de distributions de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8.1 Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8.2 Distribution de Gauss ou loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8.3 Distribution binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8.4 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 2.9 Importance physique de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Evaluation des incertitudes par des méthodes statistiques 15 3.1 Analyse statistique d’une série de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Meilleure estimation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Meilleure estimation de la variance et de l’écart-type . . . . . . . . . . . . 17 3.1.3 Ecart-type de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Propagation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.2 Comparaison avec l’addition en module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.3 Méthodologie pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.4 Calcul direct de l’incertitude relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Quelques remarques utiles et exemples pratiques 23 4.1 Présentation d’un résultat expérimental, chiﬀres signiﬁcatifs . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Comparaison entre valeur mesurée et valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Analyse statistique d’une série de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Incertitude relative, termes dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 Petits facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6 Indications des appareils : évaluation de type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.7 Niveaux de conﬁance variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.8 Erreurs aléatoires liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.9 Analyse des causes d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Vériﬁcation d’une loi physique 29 5.1 Régression linéaire Y = a + bX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Sante/ incertitude-s.pdf