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Chapitre 1 Modélisation des signaux Ce chapitre s’intéresse plus particulièreme

Chapitre 1 Modélisation des signaux Ce chapitre s’intéresse plus particulièrement aux signaux discrets qui sont l’objet de l’ouvrage. Toutes les notions et outils concernant les signaux continus sont présumés acquis et ne feront l’objet d’aucun rappel fonda- mental. 1.1 GÉNÉRALITÉS 1.1.1 Notion de signal Un signal est une grandeur physique accessible à la mesure. En général, un signal dépend des coordonnées d’espace {x, y, z, t} : l’endroit où il se situe et le temps. On attribue à un signal des propriétés élémentaires comme l’intensité, la puissance, l’énergie... Ce sont ces grandeurs auxquelles sont sensibles les capteurs qui consti- tuent l’instrument de mesure du signal. Un capteur mesure l’un des aspects du signal par exemple : – Signal électrique : intensité (ampères), tension (volts), puissance (watts) ; – signal thermique : intensité (◦C, Kelvin), énergie (calorie ou joule) ; – signal lumineux : intensité (lumen), puissance (watts), énergie (joules) ; – mélange chimique : concentration (mol/l), acidité (pH), taux de calcaire (tH) ; – signal magnétique (tesla) ; – signal barométrique (hectopascal) ; – sitesse d’un mobile (m/s, rd/s), accélération ; – etc. Bon nombre de capteurs sont aussi en général des transducteurs c’est-à- dire qu’ils transforment la grandeur physique étudiée en une autre grandeur physique éventuellement proportionnelle et plus aisée à traiter avec les ou- tils modernes : le traitement numérique du signal manipule des signaux électriques tensions ou courants. 2 CHAPITRE 1. MODÉLISATION DES SIGNAUX 1.1.2 Classiﬁcation des signaux Les signaux sont classables selon des grands groupes de propriétés : – Signaux continus ou discrets ; – signaux périodiques ou non ; – signaux déterministes ou aléatoires. 1.1.3 Systèmes, ﬁltres Les signaux sont traités par des systèmes ou ﬁltres dont le but est de les modiﬁer pour leur conférer certaines propriétés ou d’en extraire des in- formations. De même que les signaux, les systèmes se classent en grandes catégories : continus ou discrets. Dans l’une et l’autre de ces catégories le cas particulier des systèmes linéaires invariants par translation (SLI, LTI) est particulièrement intéressant car nous disposons pour l’étude de ceux- ci d’outils mathématiques performants tout en restant d’approche relative- ment aisée. – Fonctions, distributions ; – convolution, corrélation ; – transformée de Fourier ; – analyse symbolique : transformée de Laplace, transformée en Z. 1.2 MODÉLISATION DES SIGNAUX Aﬁn de pouvoir prévoir des comportements ou de concevoir des appareils susceptibles de modiﬁer, d’analyser les signaux, il est intéressant de les mo- déliser grâce à des outils mathématiques les plus puissants possibles. La modélisation du signal peut se faire grâce à des fonctions mathématiques plus ou moins compliquées décrivant la manière dont le signal évolue dans l’espace et le temps s(x, y, z, t). Pour l’étude d’un signal en un point de l’es- pace la fonction sera uniquement dépendante du temps : s(t). Si le signal est une image statique formée par exemple sur une barrette CCD, la fonc- tion devient s(x), s’il s’agit d’une image statique : s(x, y), d’une image à 3 dimensions (hologramme,...) : s(x, y, z) et si ces images sont animées nous retrouvons soit s(x, t) ; soit s(x, y, t) ; soit s(x, y, z, t). L’étude du signal de manière élémentaire se fait sur des fonctions d’une seule variable s(t) ou s(x). La généralisation à plusieurs dimensions utilise les mêmes concepts, seule est ajoutée un peu de complexité. Lors de l’étude des signaux continus deux approches sont menées : 1. Une approche temporelle (ou dépendant de la variable d’espace) utili- sant essentiellement les fonctions. 2. Une approche fréquentielle ou analyse spectrale basée sur l’utilisa- tion de la transformée de Fourier que nous noterons par la suite TF : TF[x(t)] = X(f). 1.2. MODÉLISATION DES SIGNAUX 3 Le but de ce sous-chapitre est de poser les bases de la modélisation des signaux discrets. Comme en continu nous retrouverons deux modes de mo- délisation : temporelle et fréquentielle liées par la transformée de Fourier (TF) qui sera reprécisée. 1.2.1 Signaux continus, discrets, échantillonnés Signal continu Un signal continu est déﬁni à chaque instant t sauf en un nombre de points de mesure nulle (discontinuités de première espèce). Les signaux élé- mentaires ont déjà été largement étudiés : – L’échelon d’Heaviside : e(t) ; – exponentielle causale : e−αte(t) ; – rampe t e(t) ; – cos(ωt + φ) ; – ej2πft ; – · · · Signal discret Un signal discret xd(t) n’est déﬁni qu’à certains instants tk soit un tableau de valeurs numériques {x(t = tk)}. Le cas le plus simple et le plus important est celui où : (tk+1 −tk) = cste = Ts ∀k. Le signal est alors connu par sa série de valeurs contenues dans un tableau {x(kTs)} noté en raccourci {xk}. La représentation d’un signal discret par un tableau de valeurs {xk} n’est pas vraiment satisfaisante car un tableau n’est pas un objet mathématique aisé à manipuler tel quel en comparaison avec les fonctions. La représentation graphique liée à ce modèle (modèle physique) est celle de la ﬁgure 1.1. FIGURE 1.1 – Représentation d’un signal discret avec tk+1 −tk = cste Nous verrons par la suite comment lui associer un modèle mathématique plus intéressant à manipuler. 4 CHAPITRE 1. MODÉLISATION DES SIGNAUX Signal échantillonné Un signal échantillonné xe(t) est un signal discret dont les valeurs xk sont prélevées (mesurées) sur un signal continu xc(t). La ﬁgure 1.2 représente un tel signal. FIGURE 1.2 – Représentation d’un signal échantillonné avec tk+1 −tk = cste Un signal échantillonné est un cas particulier des signaux discrets, la propriété supplémentaire étant que nous connaissons un signal continu sur lequel sont prélevés les échantillons. Signal numérique Les signaux physiques sont transformés en signaux discrets par échan- tillonnage. Ensuite, pour traiter ces signaux, nous utilisons des machines : microprocesseurs, processeurs dédiés au traitement du signal (DSP : Digi- tal Signal Processor), ordinateurs, etc... Tous ces systèmes comportent une partie acquisition du signal à base de convertisseurs analogique-numérique (CAN, ADC) et de convertisseurs numérique-analogique (CNA, DAC). Comme l’indique le nom de ces composants, le signal continu (analogique) est nu- mérisé (digitalisé) ce qui recouvre deux opérations : 1. Une discrétisation par échantillonnage à une période Ts. 2. Une numérisation : la valeur de l’échantillon devant être traitée par des composants travaillant en binaire, elle est codée, soit en virgule ﬁxe, soit en virgule ﬂottante, sur un nombre ﬁni de bits. Ce type de codage comporte une perte de précision par arrondi des données. C’est le problème de la quantiﬁcation liée à la numération binaire à nombre ﬁni de bits. Le traitement du signal se fait alors sur ces données numérisées et il y a deux aspects dans ce traitement : 1. Un aspect traitement discret où un signal d’entrée discret est modiﬁé pour fournir un signal de sortie discret. C’est l’aspect essentiel des algorithmes de traitement du signal et l’objet de tous les chapitres de ce livre. 1.2. MODÉLISATION DES SIGNAUX 5 2. Un aspect numérisation : la numérisation introduit dans les calculs un effet d’arrondi ce qui génère des imperfections de fonctionnement qui peuvent être parfois préjudiciables. Les algorithmes peuvent être implantés de plusieurs façons, toutes équivalentes d’un point de vue théorique, mais elles sont plus ou moins sensibles aux erreurs com- mises par quantiﬁcation et cela justiﬁe le choix d’une structure par rapport à une autre. Cet aspect sera évoqué en annexe D. Traitement numérique du signal = traitement discret + numérisation. 1.2.2 Modèles mathématiques et distributions Les signaux continus se modélisent aisément grâce aux fonctions et leur analyse est effectuée avec les outils associés : intégration, dérivation, équa- tions différentielles. Comme nous l’avons mentionné, un signal discret n’est connu que par un tableau de valeurs et nous disposons de peu d’outils mathématiques : pas d’intégration, de dérivation,... Pour palier à l’insufﬁsance de ce type de mo- délisation et pouvoir manipuler les signaux discrets de manière analytique il est intéressant d’utiliser la théorie des distributions de Laurent Schwartz (1915-2002). Cette même théorie permet de modéliser de manière élégante les signaux périodiques. Rappelons que c’est aussi la seule approche satis- faisante pour l’étude de la dérivation généralisée dans le cas des signaux continus ayant des discontinuités de première espèce. Il n’est pas nécessaire de reprendre les détails de cette théorie dévelop- pée dans les cours de mathématiques mais simplement de se rappeler les quelques résultats élémentaires qui nous intéressent dans le cas des deux signaux fondamentaux qui seront utilisés : – La distribution δ(t) ou distribution de Dirac ; – le peigne de Dirac. La distribution de Dirac δ(t) FIGURE 1.3 – Schématisation de la distribution de Dirac δ(t −t0) Schématisée comme l’indique la ﬁgure 1.3, ses propriétés essentielles sont rappelées dans le tableau 1.1. Elles ne sont bien évidemment pas spé- 6 CHAPITRE 1. MODÉLISATION DES SIGNAUX ciﬁques à la coordonnée temps et sont utilisables pour toute autre variable par exemple dans le domaine fréquentiel : y(f) ⊗δ(f −f0) = y(f −f0). 1. parité δ(−t) = δ(t) 2. facteur d’échelle δ(at) = 1 |a| δ(t) avec a ∈R 3. produit d’une fonction, distribu- uploads/Sante/ pyup-9782729881757.pdf