Page 1 Chapitre 1 Licence Télécommunication et Licence Electronique Pr AYACHE .
Page 1 Chapitre 1 Licence Télécommunication et Licence Electronique Pr AYACHE . C Chapitre 1 Rappels des principaux résultats de la théorie du signal «Rien ne vaut la recherche lorsqu'on veut trouver quelque chose.» J. R. R. Tolkien, Bilbo le Hobbit I.1. Introduction La théorie du signal a pour objectif fondamental la « description mathématique » des signaux. Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique et de l'informatique. élaboration : codage, modulation, changement de fréquence, interprétation : décodage, démodulation, filtrage, détection, identification, etc. 1.2. Définitions 1.2.1. Signal Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information. On parle par exemple de : signal électrique (téléphonie), onde électromagnétique (télécommunication), onde acoustique (sonar), onde lumineuse (fibre optique), signal binaire (ordinateur). 1.2.2. Classification des signaux On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés. Page 2 Classification phénoménologique On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de signaux : Les signaux déterministes: leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc… Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. Il faut faire appel à leurs propriétés statistiques pour les décrire (moyenne, variance, loi de probabilité, …). Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires. Classification énergétique : On considère l'énergie des signaux. On distingue : Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie. Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable. Rappels : Energie d'un signal x(t) Puissance d'un signal x(t) Page 3 Cas des signaux périodiques de période T Classification morphologique : On distingue les signaux à variable continue des signaux à discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue. On obtient donc 4 classes de signaux : Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus. Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu. Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret. Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets. 1.2.3. Signaux particuliers : Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal disposent d'une modélisation propre. Fonction signe Par convention, on admet pour valeur à l'origine : pour . Page 4 Fonction échelon Par convention, on admet pour valeur à l'origine: ½ pour . Dans certains, il sera préférable de lui donner la valeur . On a alors : Fonction rampe Fonction rectangulaire : La fonction est normalisée, car la surface (sous la courbe) est unitaire. On a alors : La deuxième écriture du signal rectangulaire est : Page 5 D’une manière générale pour une impulsion rectangulaire d’amplitude , de durée centré en : On l'appelle aussi fonction porte. Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire. Fonction triangle La fonction triangle est elle aussi normalisée : Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur tendrait vers et dont l'aire est égale à . La fonction de Dirac est normalisée : ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole Remarque : le marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non la hauteur de l’impulsion). On peut encore considérer comme la dérivée de la fonction échelon : Page 6 Propriétés : Peigne de Dirac On appelle peigne de Dirac une succession périodique d’impulsions de Dirac. est la période du peigne. Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage et On a, pour tout signal f(t) : Cela revient à ne retenir que les valeurs de la fonction continue f(t) aux instants d’échantillonnage, à savoir aux instants , , ...Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage. Page 7 Fonction sinus cardinal Avec / lorsque tend vers . Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal. La fonction sinus cardinal est elle aussi normalisée : D’autre part, on a : Application : Représenter les signaux suivant : 1.3. Série de Fourier Le mathématicien français Jean-Batiste Fourier découvrit qu’on pouvait transformer n’importe quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Donc, pour une fonction périodique quelconque f(t), Fourier démontra qu’on pouvait faire l’équivalence suivante : La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Page 8 Soit : Où et sont les coefficients de la série de Fourier avec appelé valeur moyenne ou composante continue : Remarque : On appelle le signal de fréquence ! le fondamental. On appelle les signaux de pulsation ". ! les harmoniques de rang . La valeur de représente la valeur moyenne de $%. Exemple : Calculer la série de Fourier pour le signal périodique suivant. Page 9 1.3.1. Symétrie et les coefficients de Fourier Le type de symétrie d’un signal peut simplifier le calcul des coefficients de la série de Fourier. Selon le type de symétrie, certains des coefficients de la série de Fourier sont nuls. Il est important de bien identifier le type de symétrie d’un signal avant de décomposer en série de Fourier. Les fonctions cosinus et sinus sont respectivement des fonctions paire et impaire. La décomposition en série de Fourier d’une fonction paire ne comporte que des termes cosinus, alors que celle d’une fonction impaire ne comporte que des termes en sinus. Symétrie paire Une fonction est dite paire si : C’est-à-dire qu’on peut faire une copie miroir autour de l’axe y. Pour des fonctions paires, les coefficients de Fourier : Symétrie impaire Une fonction est dite impaire si : C’est-à-dire qu’on peut faire une copie miroir autour de l’axe y puis une copie miroir autour de l’axe x. Pour des fonctions impaires, les coefficients de Fourier : Exemple : Décomposer en série de Fourier le signal représentée sur la figure suivante: Page 10 Correction : 1.4. Transformée de Fourier La transformée de Fourier permet de représenter des signaux qui ne sont pas périodiques. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces signaux. 1.4.1. Définition Soit s(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est une fonction, généralement complexe, de la variable & et définie par : Page 11 Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par : Exemple 1: 1. Calculer la transformée de Fourier de . 2. Représenter le spectre de '%. Représentation de (& : 1.4.2. Principales propriétés de la transformée de Fourier Dans la plupart des cas, les transformées de Fourier ne sont pas calculées à partir des relations générales, mais à partir des principales propriétés de la transformée de Fourier décrites ci-après. Page 12 Soient deux signaux '% et )% admettant pour transformées de Fourier, (& et * &, nous écrirons : Et Linéarité : Changement d’échelle sur t : Translation sur t : Translation sur f ou modulation : Dérivation par rapport à la variable t : Intégration de la variable t : Dualité : 1.4.3. Applications et conséquences : Pour que la transformée de Fourier existe, il faut que la fonction f(t) converge. Les pulses et exponentiels qui sont très utilisés en génie électrique sont des intégrales qui convergent. Cependant, certains signaux intéressants, comme une constante ou les sinusoïdes, n’ont pas d’intégrale qui converge. On fait un peu de gymnastique mathématique pour obtenir la transformée de Fourier de ces signaux. Munis de ces quelques résultats, on peut rechercher les transformées de Fourier de quelques fonctions qui n’admettraient pas de TF au sens habituel. Ce faisant, on pourra donner un nouvel éclairage à la transformée de Fourier. Page 13 Fonction de Dirac : La propriété principale de la distribution de Dirac est la suivante : Dans ce cas on peut immédiatement avoir la transformée de Fourier de Dirac : Transformée d’une impulsion retardée : Transformée d’un signal continu (signal constant): On recherche la transformée de uploads/Sante/ chapitre-1-pdf.pdf
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- Publié le Oct 11, 2021
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