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Recherche sur la corrélation en traitement de signal Master spécialisé Systèmes

Recherche sur la corrélation en traitement de signal Master spécialisé Systèmes d’Informations Distribués Date : 06/01/2014 Matière : Traitement de signal Par : BAKRI Anouar BELHAOUS Safa EL YAMAMI Abir Année universitaire : 2013-2014 Table des matières Introduction 3 La corrélation 4 1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 En statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 En traitement de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Applications de la corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 La corrélation en traitement de signal 8 1.4 Corrélation des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Signal à énergie ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 signal à puissance moyenne ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Corrélation croisée des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.4 L’autocorrélation des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Corrélation des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Corrélation croisée des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 L’autocorrélation des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 Propriètés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Coeﬃcient de Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Simulation sur Matlab 15 1.7 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Introduction Le signal est le support de l’information émise par une source et destinée à un récep- teur ; c’est le véhicule de l’intelligence dans les systèmes. Il transporte les ordres dans les équipements de contrôle et de télécommande, il achemine sur les réseaux l’information, la parole ou l’image. Il est particulièrement fragile et doit être manipulé avec beaucoup de soins. Le traitement qu’il subit a pour but d’extraire des informations, de modiﬁer le message qu’il transporte ou de l’adapter aux moyens de transmission ; c’est là qu’inter- viennent les techniques numériques. En eﬀet, si l’on imagine de substituer au signal un ensemble de nombres qui représentent sa gran- deur ou amplitude à des instants conve- nablement choisis, le traitement, même dans sa forme la plus élaborée, se ramène à une séquence d’opérations logiques et arith- métiques sur cet ensemble de nombres, associées à des mises en mémoire. La modélisation des systèmes est l’un des grands domaines du traitement du signal. Par ailleurs, la modélisation des signaux constitue une autre approche pour leur analyse, avec des propriétés qui diﬀèrent de celles de la transformée de Fourier et des ﬁltres déﬁnis dans le domaine des fréquences. La prédiction linéaire, en parti- culier, est un outil simple et eﬃcace pour caractériser certains type de signaux et procéder à leur compression. Les traitements sont spéciﬁés dans le domaine tem- porel, en utilisant les paramètres statistiques et principalement la corrélation. 3 La corrélation Figure 1.1 – Source : http://lesveritesscientifiques.com/tag/socio-economie/ Le Concept de base de la corrélation est illustré dans la Figure 1.2 qui représente un exemple de la reconnaissance de caractère. Dans cette Figure 1.2, les pixels noirs prennent une valeur de 1 et les pixels blancs une valeur de 0. supposant que nous voulons localiser toutes les occurrences de l’image de référence(S dans cet exemple) dans l’image de test. La façon pour faire cela est d’appliquer la corrélation(inter-corrélation comme nous allons le voir après) entre l’image de référence et l’image de test. L’image de référence est placée en dessus de l’image de test en haut à gauche et une multiplication pixel par pixel est faite sur les deux matrices des deux images ; toutes les valeurs de la multiplication sont sommées pour donner une seul valeur de corrélation. Ce processus est 4 1.1. HISTORIQUE répété en déplaçant l’image de référence à droite et en bas de l’image de test. Finalement une matrice est construite a partir de ces valeurs où les valeurs maximales représentes les endroits de ressemblance entre les deux images et des valeurs zéros représentants la non ressemblance. Figure 1.2 – Schéma de la corrélation d’image 1.1 Historique C’était tard en 19ème siècle que les scientiﬁques ont commencé à travailler sur la problématique de comment quantiﬁé l’existence d’une relation ou pas entre deux variables aléatoires. Le biologiste Français Galton dans son article publié en 1888 Co-relations and their Measurement, Chieﬂy from An-thropometric Data. Proceedings of the Royal Society of London 45 : 135-145. a déﬁnie le mot co-relation de manière quantitative, aujourd’hui connu comme corrélation. Dans cet article il a présenté pour la première fois une méthode de calcule de la corrélation. Il a pu faire la corrélation entre la hauteur (taille) de 348 adultes masculins et la longueur de leurs avant-bras la partie qui se trouve entre le poignet et le coude. Ces données sont représenté dans la Figure 1.3 . Galton a conclu que la diagonale de ce tableau contient les cas où il y a une grande corrélation entre la longueur de l’avant-bras (C) et la hauteur de l’adulte (S). 5 1.2. DÉFINITION Figure 1.3 – Les données de Galton : (S) hauteur et (C) longueur de l’avant-bras Toutefois pour Galton, la notion de corrélation n’est pas déﬁnie précisément et il l’as- simile dans un premier temps à la droite de régression(diagonale du talbeau précédent). C’est après que Karl Pearson propose en 1896 une formule mathématique pour la no- tion de corrélation. La corrélation est introduite en économie avec l’ouvrage de Bowley Elements of Statistics en 1923 et l’intervention de George Udny Yule en 1909. La date d’introduction de la corrélation dans le traitement de signal n’est pas connu ! ! ! !. 1.2 Déﬁnition Diﬀérents domains d’études déﬁnissent la notion de corrélation diﬀéremment, ces dé- ﬁnition ne sont pas toutes équivalentes. dans certain domaines la corrélation est utilisé interchangeablement avec la covariance. 1.2.1 En statistique En statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables aléatoires ou statistiques numériques, c’est étudier l’intensité de la liaison qui peut exister entre ces variables. mathématiquement la corrélation entre deux variables aléatoires X et Y déﬁnies dans le temps (Série temporelle) est : ρX,Y (m) = corr(X, Y ) = E[(Xn−µX)(Y n+m−µY )] σXσY avec µX et µY l’espérance mathématique de X et Y et σX, σY l’écart type. la quantité E[(X −µX)(Y −µY )] représente la covariance entre X et Y. Donc, la formule précédente peut être écrite autrement : ρX,Y (m) = corr(X, Y ) = cov(Xn,Yn+m) σXσY 6 1.3. APPLICATIONS DE LA CORRÉLATION 1.2.2 En traitement de signal En traitement de signal, la déﬁnition précédente en statistique est utilisé sans norma- lisation. ça veut dire, sans division par l’écart type σX, σY et soustraction de l’espérance mathématique µX et µY . Soit x(t) et y(t) deux signaux uploads/Sante/ recherche-sur-la-correlation-en-traitement-de-signal.pdf