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Revue des Questions Scientiﬁques, 2019, (1-2) : ... Symétries en physique : la

Revue des Questions Scientiﬁques, 2019, (1-2) : ... Symétries en physique : la théorie des groupes en action JEAN-PIERRE ANTOINE Institut de Recherche en Mathématique et Physique Université catholique de Louvain jean-pierre.antoine@uclouvain.be Résumé Cet article passe en revue les multiples applications de la théorie des groupes aux problèmes de symétrie en physique. En physique classique, il s’agit surtout de la relativité : euclidienne, galiléenne, einsteinienne (relativité restreinte). Passant à la mécanique quantique, on remarque d’abord que les principes de base impliquent que l’espace des états d’un système quantique a une structure intrinsèque d’espace préhilbertien, que l’on complète ensuite en un espace de Hilbert. Dans ce contexte, la description de l’invariance sous un groupe G se base sur une représentation unitaire de G. On parcourt ensuite les différents domaines d’application : phy- sique atomique et moléculaire, matière condensée, optique quantique, ondelettes, symétries internes, symétries approchées. On discute ensuite l’extension aux théo- ries de jauge, en particulier au Modèle Standard des interactions fondamentales. On conclut par quelques indications sur des développements récents. Abstract The present article reviews the multiple applications of group theory to the symmetry problems in physics. In classical physics, this concerns primarily rela- tivity : Euclidean, Galilean, Einsteinian (special). Going over to quantum mecha- nics, we ﬁrst note that the basic principles imply that the state space of a quantum system has an intrinsic structure of pre-Hilbert space, that one completes into a genuine Hilbert space. In this framework, the description of the invariance under a group G is based on a unitary representation of G. Next we survey the various domains of application : atomic and molecular physics, condensed matter physics, quantum optics, wavelets, internal symmetries, approximate symmetries. Next we discuss the extension to gauge theories, in particular to the Standard Model of 2 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES fundamental interactions. We conclude with some remarks about recent develop- ments. Plan de l’article 1. Avant-propos : préhistoire 2. Intermède : rappels de théorie des groupes 3. Symétries en physique classique 4. Principes de la physique quantique 5. Physique quantique et symétrie 4.1. Principes généraux 4.2. Atomes, molécules, solides 6. Etats cohérents, ondelettes 7. Symétries internes 8. Théories de jauge 7.1. Le Modèle Standard 7.2. Retour sur les particules élémentaires 9. Développements récents 10. Et en Belgique? 11. Conclusion 1. Avant-propos : Préhistoire Dès l’antiquité, les ﬁgures symétriques ont été considérées comme plus harmonieuses, plus parfaites. Que ce soit les pyramides en Egypte (3000 av.JC), différents objets d’art minoen (18e siècle av. JC), des bijoux mycé- niens (16e siècle av.JC) ou béotiens (1000 – 600 av. JC), les solides de Pla- ton (tétraèdre, cube (hexaèdre), octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre), d’innom- brables ﬁgures dans l’art islamique, les exemples se retrouvent à toutes les époques et dans toutes les cultures. Un exemple signiﬁcatif est offert par un bijou mycénien, présenté dans la Figure 1 (Speiser, 1976). L’auteur a clairement identiﬁé les symétries de l’objet et leur construction, mais n’en tire qu’un avantage esthétique. En fait, ces considérations sont censées reﬂéter l’harmonie du monde, selon Kepler. Mais l’étude systématique des propriétés de symétrie de- mande un niveau de sophistication mathématique qui ne sera disponible qu’à la ﬁn du 19ème siècle, à savoir, la théorie des groupes. Celle-ci connaîtra alors rapidement des développements mathématiques considérables, sous SYMÉTRIES EN PHYSIQUE 3 l’impulsion d’auteurs tels que E. Galois, G. Frobenius, I. Schur, W. Burn- side, E. Cartan ou H. Weyl. Pour un panorama de la théorie, nous pouvons suggérer l’ouvrage de Loebl (1968-1975) ou encore l’article (Antoine, 2005). Quant à la physique, c’est par la cristallographie que les groupes feront leur entrée. Dès la ﬁn du siècle, on découvrira successivement les 32 classes cristallographiques, correspondant aux 32 groupes ponctuels (symétrie au- tour d’un point), puis les 14 types de réseaux de Bravais, le tout menant aux 230 groupes d’espace (Fedorov, Schoenﬂies). FIGURE 1 – Un exemple antique : symétrie d’ordre 6 dans un bijou mycé- nien. (A gauche) Le bijou; (A droite) Ses symétries (Speiser, 1976). 2. Intermède : rappels de théorie des groupes Au risque de paraître pédant, rappelons (sans souci de rigueur mathé- matique!) quelques notions qui seront utilisées dans la suite. Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne (g, g′) 7→gg′, appe- lée produit, telle que : (i) le produit est associatif : g1(g2g3) = (g1g2)g3, ∀g1, g2, g3 ∈G; (ii) il existe un élément neutre e ∈G (nécessairement unique) tel que : eg = ge = g, ∀g ∈G; (iii) tout élément g ∈G possède un inverse g−1 ∈G (nécessairement unique) tel que : gg−1 = g−1g = e. Le groupe est dit abélien ou commutatif si le produit est commutatif : g1g2 = g2g1, ∀g1, g2 ∈G. Exemples : 1. Z2 = {1, −1} (groupe à 2 éléments). 4 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 2. SO(2) = {matrices 2 × 2 g(ϕ), 0 ≤ϕ < 2π} , où g(ϕ) = cos ϕ −sin ϕ sin ϕ cos ϕ , avec la multiplication matricielle. 3. le groupe des transformations de Galilée. 4. SO(3), le groupe des rotations de R3 ; SO(n), le groupe des rotations de Rn. 5. SO(1,3), le groupe de Lorentz. 6. Le groupe de Poincaré : P(1,3) = R4⋊SO(1,3) avec (a, Λ)(a′, Λ′) = (a + Λa′, ΛΛ′); a ∈R4, Λ ∈SO(1, 3) (produit semi-direct). 7. SU(2) = {matrices 2 × 2 unitaires, de déterminant 1} 8. SU(n) = {matrices n × n unitaires, de déterminant 1} Un groupe de Lie est un groupe possédant une structure de variété ana- lytique compatible avec la structure de groupe. Ceci signiﬁe que les élé- ments g ∈G peuvent être paramétrisés, g ≡g(ϕk), de telle sorte que les opérations de groupe soient données par des fonctions analytiques des pa- ramètres ϕk. L’algèbre de Lie g d’un groupe de Lie G est l’espace vectoriel des vecteurs tangents à G à l’identité. Géométriquement, ceux-ci sont les génératerurs inﬁnitésimaux du groupe. Enﬁn, une représentation (linéaire) d’un groupe G est un homomorphis- me T de G dans les opérateurs linéaires inversibles d’un espace vectoriel : . T(g1g2) = T(g1)T(g2), . T(g−1) = T(g)−1, . T(e) = 1. La représentation T est unitaire si chaque T(g) est un opérateur unitaire. 3. Symétries en physique classique Bien sûr, la cristallographie du 19e siècle relève de la physique clas- sique, mais ceci est évidemment temporaire. Quelques années plus tard, les cristaux intègreront le monde quantique. Pour la physique classique proprement dite, un domaine essentiel pour l’application de la théorie des groupes est évidemment la relativité (res- treinte). Le principe de relativité stipule que deux observateurs décrivent un système physique par les mêmes équations s’ils sont équivalents. Un ob- servateur pouvant être assimilé à un référentiel de l’espace-temps, "équi- valents" signiﬁe "équivalents sous une transformation de l’espace-temps (translation, rotation, . . . ) qui envoie l’un sur l’autre". Ces transformations SYMÉTRIES EN PHYSIQUE 5 constituent le groupe de relativité. Se pose alors le problème du choix de ce groupe. On distinguera : . Systèmes au repos : groupe euclidien E (constitué des translations et des rotations de R3); . Relativité galiléenne : groupe de Galilée; . Relativité restreinte : groupe de Poincaré; . Relativité générale : pas de groupe global, il y a seulement inva- riance locale sous le groupe de Poincaré. Ceci dit, un rôle essentiel est joué par la théorie d’Emmy Noether : l’inva- riance sous un groupe de Lie G implique des lois de conservation et réci- proquement. Les quantités conservées sont données par des éléments de l’algèbre de Lie g de G (ou son algèbre enveloppante). 4. Principes de la physique quantique Comme on le trouvera dans n’importe quel manuel de mécanique quan- tique (voir p.ex. Cohen-Tannoudji et al. , 1977) ), les principes de base de la mécanique quantique sont au nombre de trois, à savoir, : (1) Le principe de superposition : toute combinaison linéaire de deux états d’un système est un état, ce qui implique que l’espace des états H0 est un espace vectoriel. Il y a donc une structure linéaire intrin- sèque (qui est totalement absente en physique classique). (2) L’amplitude de transition entre deux états est donnée par une forme sesquilinéaire hermitienne : A(φin →φout) = ⟨φout|φin⟩. De même, la probabilité de transition correspondante est donnée par le carré du module de cette amplitude : P(φin →φout) = |⟨φout|φin⟩|2 Il s’ensuit que l’espace des états H0 est un espace préhilbertien. (3) Les observables du système sont représentées par des opérateurs linéaires dans H0, qui ne commutent en général pas, ce qui implique des relations d’incertitude. Il faut donc recourir à une interprétation probabiliste de la théorie. Il faut noter ici que la structure d’espace préhilbertien ne détermine pas une norme hilbertienne unique, mais seulement une classe d’équiva- lence de normes hilbertiennes. Rappelons que deux normes ∥·∥1 et ∥·∥2 sont équivalentes, ce que l’on note ∥·∥1 ≍∥·∥2, si elles vériﬁent la condi- tion suivante : a ∥f ∥2 ≤∥f ∥1 ≤b ∥f ∥2 , ∀f ∈H, a, b > 0. 6 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES Il s’ensuit uploads/Sante/ view.pdf