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C. DAVID – H. MEILLAUD Comportement asymptotique et limites - Exercices 1/3 Pre

C. DAVID – H. MEILLAUD Comportement asymptotique et limites - Exercices 1/3 Première E.S. – Lycée Desfontaines – Melle Comportement asymptotique et limites - Exercices Exercice 1 On a représenté ci-dessous, les fonctions f, g et h. Conjecturer leurs limites en –õ et en +õ. Exercice 2 Les réponses de cet exercice sont sur le site internet A l'aide d’un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice, conjecturer les limites en +õ et en –õ de la fonction f dans les cas suivants : f : x→2x2+4x−7 f : x→ x2 x−1 f:x→ 2x2+1 x2−1 Exercice 3 Les réponses de cet exercice sont sur le site internet Pour représenter la fonction f sur sa calculatrice Léa a obtenu l’écran ci-contre. 1. Que peut-on conjecturer au sujet du comportement de f en +õ ? 2. En fait, la fonction représentée est définie sur IR par f(x)= (x−2)3 10 −x2+3 Choisir la fenêtre qui correspond à -3ÂxÂ20 et -60ÂyÂ4. Que peut-on penser de la conjecture faite à la question 1 ? Exercice 4 Pour un exemple de rédaction correcte, voir le site internet Déterminer les limites suivantes par application des théorèmes sur les opérations. 1. lim x↔-õ ( ) x3+2x 2. lim x↔+õ ( ) -x2−x+3 3. lim x↔+õ     2x+1− 1 x 4. lim x↔0 x>0     x2−4+ 1 x 5. lim x↔-õ ( ) -x2+x−3 6. lim x↔2 x>2 x3−2x+1 2−x 7. lim x↔3 x<3 x2−5x+6 3−x Exercice 5 f est la fonction définie sur IR* par f(x)= x+3 x . 1. Conjecturer à l’aide de la calculatrice la limite de f en +õ et en –õ. Peut-on déterminer ces deux limites à l’aide des théorèmes sur les opérations ? 2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x non nul, f(x)=a+ b x . Etudier alors les limites de f en +õ et –õ. Exercice 6 Cet exercice est corrigé sur le site internet Déterminer la limite en 3 de chaque fonction. 1. f est définie sur ]3;+õ[ par f(x)= 1 x−3 2. f est définie sur ]-õ;3[ par f(x)= 1 x−3 . 3. f est définie sur IR\{3} par f(x)= 1 (x−3)2 . 0 1 1 x y 0 1 1 x y 0 1 1 x y Cf Cg Ch 0 1 1 x y 05_Comportement asymptotique et limites - Exercices 2/3 Exercice 7 : T.D. : Déterminer par différentes méthodes la limite en +õ ou en –õ d’une fonction. A. Les cas "sans problèmes". Déterminer la limite en +õ de chacune des fonctions suivantes : f : x→3x2+5x−6 g : x→(3x−1)( ) 2−x h : x→ 3 4x−1 . B. Cas d’une forme indéterminée de type "somme". 1. Soit f : x→-4x2+5x+12. On souhaite déterminer la limite de f en +õ. Que constate t-on si on essaie d’appliquer les règles sur les opérations de limites ? Vérifier que f(x)=x2     -4+ 5 x + 12 x2 Déterminer lim x↔+õ     -4+ 5 x + 12 x2 et lim x↔+õ x2 et en déduire lim x↔+õ f(x). 2. Méthode : Pour lever une indétermination lors d’un calcul de limite à l’infini d’une fonction polynôme, on factorise tous les termes par la plus grande puissance de x. C. Cas d’une forme indéterminée de type "produit" ou "quotient". Soit f : x→ -3x+8 2x2−3x+1 . 1. Déterminer la limite en -õ de (-3x+8) puis de ( ) 2x2−3x+1 et enfin de 1 2x2−3x+1 . Peut-on appliquer le théorème sur le produit pour déterminer la limite de f en -õ ? 2. Démontrer que f(x)= x    -3+ 8 x x2     2− 3 x + 1 x2 . Conclure. 3. Méthode : Pour lever une indétermination à l’infini d’une fonction rationnelle, on peut mettre en facteur la plus grande puissance de x au numérateur, mettre en facteur la plus grande puissance de x au dénominateur, simplifier, … Exercice 8 Déterminer les limites en +õ de chacune des fonctions suivantes : f(x)=-5x2+7x−12 g(x)= 3x2−8x+6 4 h(x)=-5x3−2x2+8x−12 l(x)= 3x−5 -4x+2 m(x)= x2−5x+1 2x+3 Exercice 9 Pour chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble de définition Ιf de la fonction f puis calculer les limites de f aux bornes de Cf : f : x→ -3x+4 2x+8 f : x→ 4x2−1 3x−5 Exercice 10 A l’aide d’un calcul de limite, prouver que, dans chacun des cas suivants, la représentation graphique de la fonction f définie sur l’intervalle I admet une ou plusieurs asymptotes dont on donnera à chaque fois une équation : 1. I=]-õ;4[ et f(x)= 1 x−4 2. I=]-õ;3[ et f(x)= 1 (x−3)2 3. I=IR et f(x)=5+ x−1 x2+1 05_Comportement asymptotique et limites - Exercices 3/3 Exercice 11 Soit f la fonction définie sur ]2;3[ par f(x)= 2x−1 x2−5x+6 et Cf sa représentation graphique. 1. Etudier le signe de x2−5x+6 pour x appartenant à ]2;3[. 2. Démontrer alors que Cf admet deux asymptotes verticales dont on donnera les équations. Exercice 12 Soit f la fonction définie par f(x)=-2x+1+ 1 x−1 et Cf sa courbe représentative. 1. Quel est son ensemble de définition ? 2. Démontrer que Cf admet la droite d’équation y=-2x+1 comme asymptote oblique en +õ et en –õ. Exercice 13 Soit f et g deux fonctions définies sur [2;+õ[ par f(x)=2x+3− 7 x−1 et g(x)= 2x2+5x+5 x+1 . Démontrer que les représentations graphiques de ces deux fonctions admettent en +õ la même asymptote oblique dont on précisera une équation. Exercice 14 Soit f la fonction définie par f(x)= 2x+4 x+3 . et Cf sa courbe représentative dans un repère (O,Å i ,Å j ). Quel est l’ensemble de définition Df de f ? Déterminer les limites de f aux bornes de Df. En déduire que Cf admet deux asymptotes dont on précisera les équations. Exercice 15 Soit f : x→ -x2+3 x+1 et Cf sa représentation graphique dans un repère (O,Å i ,Å j ). 1. Quel est l’ensemble de définition Df de f ? 2. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de Df, f(x)=ax+b+ c x+1 . Indication : Montrer que f(x)= ax2+(a+b)x+(b+c) x+1 puis résoudre     a=-1 a+b=0 b+c=3 . 3. A l’aide de cette nouvelle expression, déterminer les limites de f aux bornes de Df et en déduire que Cf admet une asymptote verticale dont on précisera l’équation réduite, ainsi qu’une asymptote oblique D en +õ et en –õ dont on précisera également l’équation. 4. Etudier la position relative de Cf par rapport à D en fonction des valeurs de x. uploads/Societe et culture/ 05-limite-comportement-asymptotique-exercices.pdf