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Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - C

Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 1 sur 10 Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Exemples de Systèmes Automatiques de la salle de TP DIRECTION ASSISTEE ELECTRIQUE, MAXPID, CORDEUSE DE RAQUETTE ... Afin de prévoir le comportement d'un système, on doit non seulement être capable de proposer une modélisation des entrées mais également un modèle de comportement du système, pour ce dernier, le modèle retenu est le Système Linéaire Continu Invariant (SLCI). L’objectif de ce cours est de présenter les hypothèses de modélisation du SLCI, les principaux modèles de comportement utilisés ainsi que les outils mathématiques utiles en automatique. 1 - HYPOTHESES DE MODELISATION DES SLCI 1.1. Le système Le système est représenté par un schéma-bloc fonctionnel contenant le nom du système. Les entrées (causes) sont situées à gauche et les sorties (effets) à droite. Il est caractérisé par une fonction mathématique en entrée e(t) et en sortie s(t). e(t) Système s(t) 1.2. Système linéaire Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de proportionnalité et de superposition. e(t) s(t) k.e(t) k.s(t) Proportionnalité e1(t) s1(t) e2(t) s2(t) Superposition e1(t) + e2(t) s1(t) + s2(t) Système Système Système Système Système Si le système est linéaire on obtient, en traçant la réponse s(t) en fonction de e(t) (pour un instant donné ou en régime permanent), la caractéristique du système égale à une droite de pente K (gain du système). s(t) e(t) Pente = gain du système Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 2 sur 10 (1) masse, dimensions, résistance, impédance, ... Attention à ne pas confondre la caractéristique sortie fonction de l’entrée avec la courbe sortie fonction du temps qui, elle, est très souvent non-linéaire. En réalité aucun système n’est parfaitement linéaire. La caractéristique entrée sortie comporte toujours plus ou moins des non linéarités, notamment aux faibles amplitudes (seuils) ou aux fortes amplitudes (saturation, courbure). Le système est dit non linéaire. Courbure Seuil Saturation smaxi emini Hystérésis Exemple : saturation amplificateur Exemple : frottement Exemple : butée mécanique Exemple : jeux mécaniques s(t) e(t) s(t) e(t) s(t) e(t) s(t) e(t) Dans la pratique pour étudier les systèmes, on linéarise la caractéristique entrée-sortie au voisinage du point de fonctionnement étudié en remplaçant la portion de courbe par une droite. Le système est dit alors linéarisé. e(t) Zone d’approximation linéaire Approximation linéaire s(t) Point de fonctionnement étudié 1.3. Système continu Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique. 1.4. Système invariant Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (1) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas"). Sortie s(t) Entrée e(t) t t t1 t1+τ Sortie s(t) Entrée e(t) 1.5. Conséquence Un système linéaire continu invariant peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants. 2 - LES PRINCIPAUX MODELES DE COMPORTEMENT Pour les systèmes automatiques réels, on se ramène au cas des SLCI en faisant les hypothèses simplificatrices présentées ci-dessus. La comparaison du modèle avec la réalité permettra de valider ou non les hypothèses proposées. Pour modéliser un SLCI, il est nécessaire de déterminer l’équation reliant l'entrée e(t) (ou les entrées) et la sortie s(t). Un modèle de comportement établi à partir d’une linéarisation d’un modèle de connaissance permet d'aboutir généralement à une telle équation. Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 3 sur 10 (2) Fonction transmettre et adapter de la chaîne d’énergie (3) Fonction distribuer de la chaîne d’énergie (4) Fonction acquérir de la chaîne d’information Il est très utile de représenter un système complexe en schéma-bloc fonctionnel et de le décomposer en sous-systèmes élémentaires plus simples car cette stratégie permet de retrouver souvent des modèles de comportement bien connus (et présentés ci-dessous) pour chaque sous-système élémentaire. 2.1. Modèle de comportement des systèmes les plus simples Une grande partie des systèmes peut être modélisée par une constante, c'est à dire une relation de proportionnalité directe entre l'entrée et la sortie : s(t) = K.e(t). La constante de proportionnalité est alors directement le gain du système. On peut modéliser par un gain la majorité :  des éléments de transmission de puissance (2). Exemples : réducteur à roue et vis sans vis, à engrenages, système vis-écrou...,  des préactionneurs (3). Exemple : variateur, hacheur, …,  des capteurs (4). Exemples : potentiomètre, génératrice tachymétrique... Exemples de systèmes pouvant être modélisé par un gain Ressort Force Allongement La relation reliant la force exercée sur le ressort F à l'allongement Δx est donnée par la relation : F=kressort.Δx où kressort est la raideur du ressort. Le gain K du système est alors égal à kressort. Vitesse de sortie Réducteur Vitesse d’entée La relation reliant la vitesse de rotation de sortie ωs à la vitesse de rotation d’entrée ωe est donnée par la relation : ωs/ωe=–Ze/Zs où Ze et Zs sont le nombre de dents des deux éléments. Le gain K du système est alors égal à Ze/Zs . Potentiomètre Tension Angle La relation reliant la tension de sortie U à l’angle de réglage θ en entrée est donnée par la relation : U = kp.θ où kp est le gain du potentiomètre. 2.2. Modèle de comportement des systèmes du premier ordre Un modèle plus élaboré, couramment rencontré, est le modèle dit du premier ordre. La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du premier ordre est : ) t ( e . K ) t ( s dt ) t ( s d .    où : K est le gain statique du système. τ est la constante de temps. e(t) i(t) u(t) L R Réel Modèle Exemple : Moteur pas à pas se comportant comme un circuit RL On s'intéresse à un circuit RL (résistance + bobine) couramment rencontré dans les circuits électriques (filtres, moteur pas à pas, …). Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 4 sur 10 (5) le coefficient d’amortissement z est toujours > 0 (6) la pulsation propre non amortie du système ω0 est toujours > 0 Les équations électriques du circuit sont les suivantes : ) t ( u dt ) t ( i d . L ) t ( e   (1) ) t ( i . R ) t ( u  (2) Soit ) t ( u dt ) t ( u d . R L ) t ( e   → On obƟent bien une équaƟon diﬀérenƟelle d'ordre 1. La constante de temps vaut R L   (en secondes) et le gain statique vaut 1. Modèle de comportement des systèmes du second ordre Un autre modèle très couramment rencontré est le modèle dit du second ordre. La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du second ordre est : ) t ( e . K ) t ( s dt ) t ( s d . z 2 dt ) t ( s d . 1 0 2 2 2 0     où : K est le gain statique du système. z est le coefficient d’amortissement (5). ω0 est la pulsation propre non amortie du système (6). Modèle : Schéma de modélisation du système masse-ressort-amortisseur Réel : Système d’amortissement d’un quad f x(t) F(t) M k Exemple : Système masse-ressort-amortisseur On s'intéresse au mouvement d'une roue par rapport au châssis par l'intermédiaire d'un système amortisseur ressort. Ce système peut être modélisé par une masse reliée en série à un ressort et un amortisseur montés en parallèle. On note F(t) la force exercée sur la masse M et x(t) la position de cette masse par rapport à l'équilibre. La masse M est soumise :  à l'action F(t)  à l'action du ressort : -k.x(t)  à l'action de l'amortisseur : dt ) t ( dx . f  L’écriture du principe fondamental de la dynamique sur la masse M permet d’écrire : ) t ( F ) t ( x . k dt ) t ( dx . f dt ) t ( x d . M 2 2     Soit : ) t ( F ) t ( x . k dt ) t ( dx . f dt ) t ( x d . M 2 2    → L'équaƟon obtenue est bien une équaƟon diﬀérenƟelle d'ordre 2. La pulsation propre non amortie vaut M k 0   (radians/secondes), le coefficient d’amortissement vaut M . k . 2 f z  (sans unité) et le gain statique vaut k 1 K  (m.N-1). Cours 04 - Modélisation des SLCI et Calcul Symbolique Lycée Fermat Toulouse - CPGE uploads/Societe et culture/ cours-04.pdf