C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier Chapitre 21 Séries III Séries à termes positi

C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier Chapitre 21 Séries III Séries à termes positifs 1 Théorèmes de comparaison Proposition 1: Sommes partielles d’une SATP Soit X un une série de terme général un positifs pour tout n ∈N. Alors : i). La suite des sommes partielles (Sn)n∈N est croissante. ii). La série converge si et seulement si (Sn)n∈N est majorée. On a alors, pour tout n ∈N, n X k=0 uk ≤ ∞ X k=0 uk iii). Si (Sn)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞. Preuve: i). Pour tout n ∈N, Sn+1 −Sn = un+1 ≥0 donc (Sn)n est croissante. ii) et iii) D’après le théorème de la limite monotone, (Sn)n converge si et seulement si elle est majorée, et alors pour tout n ∈N, Sn ≤ lim n→+∞Sn = ∞ X k=0 uk. Sinon, lim n→+∞Sn = +∞. ■ Proposition 2: Critère de majoration Soit X un et X vn deux séries à termes positifs telles que ∀n ∈N, un ≤vn. Alors : i). Si X vn converge, alors X un converge. ii). Si X un diverge, alors X vn diverge. Preuve: Par sommation des inégalités, pour tout n ∈N, n X k=0 uk ≤ n X k=0 vk - 1/5 - c ⃝T.Vareschi 2020 C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier i). Si X vn converge, comme vn ≥0 pour tout n ∈N, alors d’après la proposition précédente, pour tout n ∈N, n X k=0 vk ≤ +∞ X k=0 vk | {z } =C . Donc les sommes partielles de X un sont également majorée (par C). D’après la proposition précédente, X un converge. ii). Si X un diverge, alors lim n→+∞ n X k=0 uk = +∞donc lim n→+∞ n X k=0 vk = +∞. ■ Remarque(s): On note dans la preuve qu’on peut passer aux inégalités dans les sommes infinies, pourvu qu’elles soient convergentes. Corollaire 1: Critère de majoration (bis) Soit X un et X vn deux séries à termes positifs.Si un = O n→+∞(vn) : i). Si X vn est convergente, alors X un est convergente. ii). Si X un est divergente, alors X vn est divergente. Preuve: Si un = O n→+∞(vn), alors il existe C ≥0 tel que ∀n ∈N, |un| ≤C|vn|, et donc un ≤Cvn car les séries sont à termes positifs. Il suffit donc d’appliquer le théorème précédent aux séries X un et X Cvn. ■ Exemple(s) Déterminer la nature des séries suivantes : i). X 1 n2 + 1. Pour tout n ∈N, 1 n2 + 1 ≤1 n2 . Or X 1 n2 est convergente (série de Riemann de paramètre α = 2). De plus, les deux séries sont à termes positifs. Donc par critère de comparaison, X 1 n2 + 1 converge. ii). X ln(n) n . Pour tout n ≥3, ln(n) n ≥1 n. Or X 1 n est divergente (série de Riemann de paramètre α = 1). De plus, les deux séries sont à termes positifs. Donc par critère de comparaison, X ln(n) n diverge. - 2/5 - c ⃝T.Vareschi 2020 C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier Remarque(s): Attention, on compare bien les termes généraux. Il est inutile de sommer les inégalités, et encore plus déconseillé d’écrire X un ≤ X vn. Corollaire 2: Critère de majoration (ter) Soit X un et X vn deux séries à termes positifs telles que un = o n→+∞(vn). i). Si X vn est convergente, alors X un est convergente. ii). Si X un est divergente, alors X vn est divergente. Preuve: Si un = o n→+∞(vn), alors un = O n→+∞(vn). ■ Exemple(s) Déterminer la nature des séries suivantes : i). X e−n n Comme lim n→+∞ 1 n = 0, un = o n→+∞(e−n). Or X e−n est convergente (série géométrique de raison e−1 ∈] −1, 1[). De plus, les deux séries sont à termes positifs. Donc par critère de comparaison, X e−n n converge. ii). X ne−n Par croissance comparée, lim n→+∞n2(ne−n) = 0, donc ne−n = o n→+∞  1 n2  Or X 1 n2 est convergente (série de Riemann de paramètre α = 2). De plus, les deux séries sont à termes positifs. Donc par critère de comparaison, X ne−n converge. iii). X n2 −4 en −n −2 ln n. On commence par déterminer un équivalent de un. Ici, un ∼ n→+∞n2e−n. Or n2 n2e−n − → n→+∞0 par croissance comparée, donc n2e−n = o n→+∞  1 n2  . Donc un = o n→+∞  1 n2  . Or X 1 n2 est convergente (série de Riemann de paramètre α = 2). De plus, les deux séries sont à termes positifs à partir d’un certain rang. Donc par critère de comparaison, X n2 −4 en −n −2 ln(n) converge. Remarque(s): • Dans l’exemple i), on aurait pu écrire e−n n = o n→+∞  1 n  , mais ceci n’apporte aucune information car X 1 n est divergente. Il ne sert en général à rien de majorer par le terme général d’une série divergente (par exemple 1 n), ou bien de minorer par celui d’une série convergente. - 3/5 - c ⃝T.Vareschi 2020 C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier • Il est inutile de sommer les inégalités dans l’application des critères de comparaison, il suffit de raisonner sur les termes généraux des séries. • Ca ne marche que si les séries sont à termes positifs. Exercice Déterminer la nature des séries suivantes : i). X ln(n)e−n ii). X ln(n) n2 iii). X 1 ln(n) Corollaire 3: Critère d’équivalence Soit X un et X vn deux séries à termes positifs. Si un ∼ n→+∞vn, alors X un et X vn ont le même comportement asymptotique. Preuve: Si un ∼ n→+∞vn, alors on a un = O n→+∞(vn) et vn = O n→+∞(un), donc il suffit d’appliquer le critère de majoration. ■ Exemple(s) Déterminer la nature des séries suivantes : i). X 2n2 + 2n −12 5n3 + 6 . 2n2 + 2n −12 5n3 + 6 ∼ n→+∞ 2 5n (≥0) Or X 1 n est divergente (série de Riemann de paramètre α = 1). De plus, les deux séries sont à termes positifs à partir d’un certain rang. Donc par critère d’équivalence, X 2n2 + 2n −12 5n3 + 6 converge. ii). X ln  1 + 1 n2  . ln  1 + 1 n2  ∼ n→+∞ 1 n2 (≥0) Or X 1 n2 est convergente (série de Riemann de paramètre α = 2). De plus, les deux séries sont à termes positifs à partir d’un certain rang. Donc par critère d’équivalence, X ln  1 + 1 n2  diverge. iii). X ln  1 + ln n n  ln  1 + ln n n  ∼ n→+∞ ln n n (≥0) Or X ln n n est divergente (cf exemple plus haut). De plus, les deux séries sont à termes positifs à partir d’un certain rang. Donc par critère d’équivalence, X ln  1 + ln n n  diverge. iv). X ln  1 + (−1)n n  ln  1 + (−1)n n  ∼ n→+∞ (−1)n n (≥0) Les séries ne sont pas à termes positifs, on ne peut pas conclure. - 4/5 - c ⃝T.Vareschi 2020 C21 - Séries PCSI - Lycée Pothier Remarque(s): • Ca ne marche que si les séries sont à termes positifs. • Si un ∼ n→+∞vn et si vn est positive à partir d’un certain rang, alors un est également positive à partir d’un certain rang. Le critère s’applique donc dès lors que l’on a trouvé un équivalent positif. • Pour la recherche de l’équivalent, on peut utiliser un développement limité. • Attention ! Même si l’équivalence un ∼ n→+∞vn permet de relier le comportement des deux séries associées, les sommes partielles ne sont en aucun cas équivalentes. On ne peut donc pas écrire n X k=0 uk ∼ n→+∞ n X k=0 vk car ceci revient à sommer les équivalents. • Les résultats de cette partie se transposent aux séries à termes négatifs. Exercice Déterminer le comportement des séries suivantes : i). X 1 √ n2 + 1 ii). X ( 3 p n3 + 1 − p n2 + 1) iii). X ln  √n √n + 1  2 Comparaison série-intégrale Exercice Soit f : R+ →R une fonction positive, décroissante et continue. i). a) Soit k ∈N. Montrer que, pour tout t ∈[k, k + 1], f(k + 1) ≤f(t) ≤f(k). b) En déduire que f(k + 1) ≤ Z k+1 k f(t)dt ≤f(k). c) Montrer enfin que : ∀n ∈N∗, n X k=1 f(k) ≤ Z n 0 f(t)dt ≤ n−1 X k=0 f(k) ii). En déduire que la série X f(n) et la suite Z n 0 f(t)dt  n∈N ont même comportement asympto- tique. iii). Applications : a) Déterminer le comportement de X 1 n ln(n). b) Déterminer un équivalent de n X k=1 1 √ k - 5/5 - c uploads/Societe et culture/ c21-series-iii.pdf

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Société et cultureséries termes alors critère positifs
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