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Faculté d’Electronique et Informatique Département Instrumentation et Automatis

Faculté d’Electronique et Informatique Département Instrumentation et Automatisme Enseignante : Mm LARIBI Section : L3 Auto Cours d’Automatique Commande des systèmes linéaires invariants dans le temps Les étudiants ont déjà suivi un enseignement relatif à l’´étude des systèmes linéaires modélisés par une fonction de transfert (approche fréquentielle). Ce cours s’intéresse aux mêmes systèmes mais propose une ´étude via un modèle différent, appelé représentation d’état linéaire (approche temporelle). Table des matières : Chapitre I: Rappel sur la fonction de transfert Chapitre II : La représentation d’état Chapitre III : Réponse d’un modèle d’état Chapitre IV: Commandabilité et observabilité Chapitre V: Commande par retour d’état Année universitaire 2019/2020 Chapitre I Rappel sur la fonction de transfert Dans ce chapitre, l’on revient brièvement sur la notion de fonction de transfert. D’où vient- elle ? Comment l’obtenir ? Pourquoi est-elle utilisée ? I.1 Equations préliminaires Il faut d’abord noter que le système ´évoluant avec le temps, les grandeurs impliquées peuvent ˆêtre assimilées à des signaux temporels, c’est-`a-dire, mathématiquement, des fonctions du temps. Lors de la phase de modélisation, l’on essaie généralement d´écrire le comportement du système par un ensemble d’équations, de relations mathématiques entre les signaux, qui parait correspondre à ce système. Dans le cas d’un système physique, l’on s’appuie sur les lois de la physique (´électricité, mécanique, etc...) pour déterminer plusieurs les équations reliant les différentes grandeurs, en essayant de prendre en compte tous les phénomènes afin de d´écrire l’intégralité du système. Les équations obtenues sont non seulement algébriques mais aussi différentielles Prenons comme exemple un circuit RLC comme. Les équations issues des lois de l’´électricité qui régissent le comportement du circuit RLC sont les suivantes : (1) i(t)= cdy(t)/dt (1) u(t)=RC dy(t)/dt +LC d2y(t)/dt2 +y(t) I.1.1 Linéarité La première constatation est que ces équations algèbre -différentielles ne sont pas linéaires en fonction des grandeurs impliquées ou de leurs des dérivées successives. Or, les modèles non linéaires sont difficiles a manipuler. Cela signifie en pratique qu’ils rendent ardues l’analyse du comportement du système et, plus encore, sa commande. Par conséquent, l’on décide bien souvent de travailler dans une gamme de valeurs des grandeurs se situant autour de valeurs centrales constituant ce qu’il est convenu d’appeler un point de fonctionnement. Sous réserve de ne pas trop s’´éloigner de ce point de fonctionnement, l’on peut approcher les équations non linéaires par des ´équations certes approximatives mais linéaires. L’on s’arrange ´également pour que les coefficients intervenant dans les ´équations soient indépendants du temps. L’on parle alors de modèle linéaire invariant dans le temps. Dans le cas des ´équations (1.1), elles sont déjà linéaires `a coefficients constants donc il est inutile de faire une approximation. I.1.2 Modèle entrée/sortie : l’´équation différentielle Pour simplifier le modèle linéaire obtenu, pour le rendre plus compact, une tendance habituelle consiste `a regrouper toutes les équations en une seule. Il s’agit d´éliminer du système d´équations toutes les grandeurs internes au système qui ne sont ni l’entrée, ni la sortie. L’on obtient alors une unique ´équation différentielle ne faisant apparaitre que l’entrée u, la sortie y et éventuellement, leurs dérivées successives. Une telle équation a l’allure suivante : (1.2) On pose un point sur une lettre désignant un signal correspond a` la dérivation par rapport au temps ̇(t) Il s’agit l`a d’un modèle de comportement entrée/sortie, c’est-`a-dire qui traduit l´évolution de la sortie en fonction de celle de l’entrée et ce, en ´éludant la dynamique interne du système. Il est inconcevable que m soit strictement supérieur à n. Cela signifierait que la sortie du système à un instant donné dépend de la valeur de l’entrée à un instant ultérieur (or ceci est impossible). C’est pourquoi, l’on suppose que m ≤ n. Un tel système est dit causal. Si l’on revient à l’exemple du circuit RLC, en regroupant les deux ´équations données en (1.1), l’on obtient, par ´élimination de i(t) : (1.3) Cette ´équation différentielle unique constitue bien un modèle du lien existant entre l’entrée u(t) et la sortie y(t). En outre, il est clair que des valeurs élevées de m et n rendent difficile la détermination analytique de l’expression du signal y(t). En d’autres termes, il est difficile, sinon impossible, de résoudre une équation différentielle d’ordre élevé. Aussi a-t-on ressenti le besoin d’introduire un nouvel outil de modélisation, plus aisé à manipuler, et même d’aider l’automaticien dans les phases d’analyse et de commande : il s’agit donc de la fonction de transfert. I.1.3 Transformée de Laplace : de l’´équation différentielle à la fonction de transfert Pour éviter d’avoir à manipuler une ´équation différentielle pas toujours simple, les électroniciens et à leur suite, les automaticiens, ont décide d’exploiter un outil mathématique bien connu, la transformée de Laplace Chaque signal temporel f(t) causal, c’est-`a-dire pour lequel f(t) = 0, ∀t < 0, peut subir une transformation dite de ≪ Laplace ≫, notée L et ainsi définie : (1.4) F(p), est appelée transformée de Laplace de f(t) et la variable complexe p = α + jβ (notée s dans les ouvrages de culture anglo-saxonne) est connue sous le nom de variable de Laplace. Cet opérateur possède les propriétés suivantes : 1- Linéarité : 2- théorème de la d´dérivation : Dans les conditions initiales nulles P est un dérivateur dans le domaine de Laplace 3- théorème integration : 1/P : est un opérateur d’intégration dans le domaine de Laplace 4- théorème du retard 5- théorème du décalage fréquentiel : I.2 Fonction de transfert I.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert La fonction de transfert est un modèle de comportement entrée/sortie qui s’obtient à partir de l’´équation différentielle linéaire à coefficients constants. Plutôt que de chercher à obtenir y(t) en fonction de u(t), l’on cherche à obtenir Y (p) = L(y(t)) en fonction de U(p) = L(u(t)). Comme il s’agit de déterminer un modèle qui soit indépendant des conditions initiales, ces dernières sont considérées nulles et l’on applique tout simplement la transformée de Laplace `a l’´équation différentielle (1.2), ce qui conduit `a l’expression suivante : (1.5) N(p) numérateur et D(p) le dénominateur G(p) : Elle est appelée fonction de transfert et se révèle très utile pour l’´étude des systèmes linéaires mono variables. G(p) est dite d’ordre n et selon la règle de causalité, m ≤ n. L’on note que les racines de N(p) sont appelées zéros du système et celles de D(p) sont appelées pôles du système La puissance la plus élevée du dénominateur donne l’ordre du système Dans le cas du circuit RLC, l’application de transformée de Laplace conduit `a . G(p) permet de d´déterminer le terme de Y (p) d´dépendant seulement de U(p) et non des conditions initiales, ici présentes au niveau du numérateur I(p). I.2.2 Intérêt de la fonction de transfert Même dans le cas d’un modèle d’ordre élevé, la réponse du système à une excitation u(t) est plus facile à déterminer si l’on utilise la fonction de transfert. En effet, lorsque u(t) est une impulsion de Dirac (réponse impulsionnelle), ou un ´échelon unitaire (réponse indicielle), alors Y (p) = G(p)U(p) peut être décomposé en éléments simples faisant intervenir les pôles du système. Ainsi chaque élément simple génère un terme de la réponse y(t) par application de Laplace inverse . C’est ainsi que l’on voit l’influence des pôles. De ce fait, connaître la fonction de transfert, c’est connaître ses pôles donc prévoir en partie le comportement du système. La fonction de transfert permet donc une analyse fréquentielle du comportement du système par l’intermédiaire du diagramme de Bode. En outre, de G(p), l’on déduit facilement des lois de commande (par exemple de type régulateur PID), basées sur l’obtention de certaines marges de gain ou marges de phase, d´déterminables grâce au diagramme de Bode. De même, G(p) peut-ˆêtre utilisée pour calculer une loi de commande plaçant les pôles du système en boucle fermée . Dans les deux cas, c’est la manipulation de G(p) qui conduit à l’établissement de la loi de commande, ce qui démontre la pertinence d’un tel outil. Applications Application 1 Soit la fonction de transfert suivante : Calculer la réponse indicielle et la décomposer en mode Analyser (convergence, bornitude, oscillation) ces modes Application 2 Pour le tracé asymptotique suivant : Déterminer les pôles et zéros et en deduire la fonction de transfert uploads/Societe et culture/ chapitre-1-fonction-de-transfert.pdf