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Mécanique des milieux continus Séance 9 : Elastoplasticité Guilhem MOLLON GEO3

Mécanique des milieux continus Séance 9 : Elastoplasticité Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de la séance A. Comportement des solides réels 1. Observation expérimentale 2. Notion de limite élastique 3. Représentation graphique B. Exemples de critères de plasticité 1. Critère de Rankine 2. Critère de Tresca 3. Critère de Von Mises 4. Critère de Mohr-Coulomb 2 A. Comportement des solides réels Séance 9 4 A. Comportement des solides réels Beaucoup de matériaux solides réels ont un comportement élastique linéaire isotrope identique à celui décrit dans les cours précédents, mais seulement dans un domaine de contraintes donné. Considérons une éprouvette de matériau réel (par exemple de l’acier), que l’on soumet à un essai de traction pure, soit à un tenseur des contraintes de la forme suivante : On augmente progressivement la contrainte , qui est la seule non-nulle, et on observe la réponse du matériau en déformation axiale. 1. Observation expérimentale 5 A. Comportement des solides réels Une éprouvette d’acier va présenter le comportement suivant, et c’est également le cas de très nombreux autres matériaux : On va détailler les différentes parties de ce graphique. 1. Observation expérimentale 6 A. Comportement des solides réels Pour les faibles valeurs de la contrainte imposée, toutes les hypothèses du comportement élastique linéaire isotrope sont vérifiées, et on obtient directement la déformation axiale en appliquant la loi de Hooke : 1. Observation expérimentale Dans ce cas, on a donc une proportionnalité entre contraintes et déformations, et on dit qu’on est dans le domaine élastique. En particulier, on peut relâcher la contrainte appliquée, et la déformation va s’annuler pour retourner à l’état initial (point O). On dit que l’élasticité est un état réversible. 7 A. Comportement des solides réels Si on continue à augmenter la contrainte appliquée au matériau, on va atteindre un changement de comportement, correspondant au point B. Ce point correspond à une valeur maximale de la contrainte supportable par le matériau, notée , et qui s’atteint pour une valeur de déformation 1. Observation expérimentale Au-delà du point B, il n’est plus possible d’augmenter la contrainte appliquée au matériau, car celui-ci n’est plus capable de « répondre » à cette sollicitation. Il va alors se déformer de manière continue sous une contrainte constante : il entre en plasticité. 8 A. Comportement des solides réels Lorsqu’on est sur le palier de plasticité, on n’est pas encore tout à fait à la rupture du matériau. Au point C, par exemple, il est encore possible de décharger l’éprouvette (de réduire la contrainte ). 1. Observation expérimentale Dans la plupart des matériaux, on retrouve alors un comportement élastique. La seule différence est que l’on a déplacé le point de contrainte nulle : même lorsqu’on a totalement déchargé, il reste un déplacement non-nul. On appelle ce phénomène l’écrouissage. La plastification d’un matériau correspond donc à l’apparition de déformations permanentes. On dit que la plasticité est un comportement irréversible. 9 A. Comportement des solides réels Si on recommence à charger, on va suivre le comportement élastique, puis atteindre de nouveau le palier de plasticité au point C, et retrouver un écoulement plastique. Si par la suite on atteint des niveaux de déformation suffisamment élevés, on atteindra finalement la rupture du matériau au point F, pour une déformation . 1. Observation expérimentale 10 A. Comportement des solides réels Il faut garder à l’esprit que le comportement que l’on a décrit reste une modélisation de la réalité, que l’on appelle généralement l’élastoplasticité parfaite. Si on conduit une expérience réelle sur un matériau simple, avec un peu de chance le comportement de l’éprouvette aura l’allure suivante : 1. Observation expérimentale 11 A. Comportement des solides réels Selon les contextes, la plastification est parfois souhaitée, et parfois redoutée. Dans tous les contextes, la plastification être contrôlée. 2. Notion de limite élastique 12 A. Comportement des solides réels Le meilleur moyen de contrôler la plastification d’un matériau est de savoir à partir de quelle contrainte celui-ci va entrer en plasticité. On va chercher à localiser le point B, ou plutôt à connaître la valeur de la contrainte . On va donc devoir définir ce qu’on appelle une limite élastique, aussi appelée critère de plasticité. Ce critère déterminera si, pour une contrainte donnée, on est dans le domaine élastique ou plastique. 2. Notion de limite élastique 13 A. Comportement des solides réels Le critère de plasticité est une fonction de l’état de contrainte, on peut donc l’écrire de manière générale sous la forme suivante : Par ailleurs, il doit permettre de définir si on est dans le domaine élastique ou plastique. En un point donné et à un instant donné, on utilisera de manière conventionnelle la méthode suivante : -Si , le matériau est dans le domaine élastique -Si , le matériau est dans le domaine plastique - correspond à une impossibilité physique A un instant donné, on peut donc tout à fait être à l’état élastique dans une certaine partie du système et à l’état plastique dans une autre partie. C’est ce qui fait la difficulté majeure de l’élastoplasticité. 2. Notion de limite élastique 14 A. Comportement des solides réels La limite élastique est donc une fonction mathématique de l’état de contrainte. Cette fonction dépend très largement du matériau considéré, et peut prendre des formes très variées. Dans un matériau isotrope, le critère de plasticité doit être le même dans toutes les directions. La fonction doit donc être invariante par rotation, et on peut la réécrire en fonction des seuls invariants du tenseur de contrainte : Avec : La plupart du temps, on l’écrira néanmoins en fonction des contraintes principales : 2. Notion de limite élastique 15 A. Comportement des solides réels Les différents états de contraintes pour lesquels un matériau donné est à l’état élastique forment un sous-domaine de l’espace des contraintes, que l’on appelle domaine élastique et qui est défini par : Pour un état de contrainte donné, on est à l’état élastique ou plastique selon qu’on est à l’intérieur ou à l’extérieur de ce domaine. On a donc coutume de représenter graphiquement un tel domaine dans le plan de Mohr. 3. Représentation graphique 16 A. Comportement des solides réels Selon cette représentation, un état de contrainte est défini par un tricercle de Mohr, et en particulier par le grand cercle de Mohr (correspondant au plan de cisaillement maximal). Un état de contrainte donné correspondra à de l’élasticité si et seulement si la totalité du tricercle de Mohr qui lui correspond est strictement à l’intérieur du domaine élastique. Si c’est le cas, on ne plastifie sur aucune facette, c’est-à-dire en aucun point du tricercle. 3. Représentation graphique 17 A. Comportement des solides réels Le domaine élastique correspond alors à une surface du plan de Mohr, qui doit respecter les conditions suivantes : -le domaine élastique contient l’origine -le domaine élastique est convexe -le domaine élastique est symétrique par rapport à l’axe horizontal 3. Représentation graphique 18 A. Comportement des solides réels Selon ces définitions, on peut alors dire que : -un cercle compris entièrement à l’intérieur du domaine correspond à de l’élasticité -un cercle tangent à la limite du domaine correspond à de la plasticité -un cercle ne peut pas « sortir » du domaine, car cela correspondrait à des contraintes que le matériau ne pourrait pas reprendre 3. Représentation graphique A. Comportement des solides réels Reprenons l’expérience de début de cours : chargeons une éprouvette en traction pure selon le tenseur de contraintes suivant : Les deux autres contraintes principales sont nulles : 3. Représentation graphique A. Comportement des solides réels Par conséquent, pour chacun des points A de la droite élastique, on peut définir le grand cercle de Mohr correspondant dans le plan de Mohr, et celui-ci est tangent à l’axe vertical (car ). Plus la contrainte est élevée, plus le cercle est grand. Lorsque le cercle est suffisamment grand pour être tangent au critère de plasticité dans le plan de Mohr, ça signifie qu’il y a exactement deux facettes (les deux points de tangence) pour lesquelles on a . 3. Représentation graphique A. Comportement des solides réels Dans ce cas, le matériau entre en plastification : -> on ne peut plus faire encaisser de contraintes supérieures au matériau -> on ne peut pas construire de tricercle de Mohr plus grand sans sortir du domaine élastique -> on a donc atteint le point B, qui marque le début du pallier de plasticité. 3. Représentation graphique 22 A. Comportement des solides réels Cette représentation n’est en fait valable que pour une classe particulière de critères de plasticité, ceux qui peuvent s’écrire de la façon suivante : Ces critères ne font pas intervenir la contrainte principale intermédiaire, c’est pourquoi on peut les définir uniquement par le grand cercle de Mohr. Ils sont très répandus, notamment en mécanique des sols, car ils sont suffisants pour faire apparaître le cisaillement maximal. Or le cisaillement est souvent à l’origine de la plasticité. 3. Représentation graphique 23 A. Comportement des solides réels Dans le cas le plus général des critères qui s’écrivent , on est obligé d’utiliser uploads/Societe et culture/ mmc9.pdf