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الشعبة : رياضة ال دورة ال رئيسية جوان4102 االصالح Examen du baccalauréat Sessio

الشعبة : رياضة ال دورة ال رئيسية جوان4102 االصالح Examen du baccalauréat Session principale Session de Juin 2014 Section : Sport Épreuve : Mathématiques Exercice 1 Soit   n U la suite définie sur ℕ par : 0 n 1 n U 2 U 4U 3, pour tout n         1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1)a) U 4U 3 4 2 3 11 U 4U 3 4 11 3 47 U U 11 2 9 U U 47 11 36 U 9 U 2 U 47 U 11                       b) On a 1 0 2 1 U U U U    , d’où   n U n’est pas une suite arithmétique. On a 1 2 0 1 U U U U  , d’où   n U n’est pas une suite géométrique. 2)  n V la suite définie sur ℕ par n n V 1 U .  a) n 1 n 1 n n n n V 1 U 1 4U 3 4 4U 4(1 U ) 4V .           D’où   n V est une suite géométrique de raison 4. b) 0 0 V 1 U 1 2 3.    n n n 0 V V 4 3 4 , pour tout n      c) n n n n lim V lim 3 4 .      On a n n V 1 U  , d’où n n n n n 1 1 U V 1 3 4 1 et . U 3 4 1       n n n n 1 1 lim lim 0. U 3 4 1       Exercice 2 Dix élèves d’un lycée sportif ont été médaillés lors d’une compétition régionale. Judo Escrime Athlétisme Filles 1 3 2 Garçons 2 1 1 Une association pour la promotion des sports individuels se charge de récompenser trois parmi ces dix élèves en leur payant un voyage à l’étranger. A et B les évènements suivants : A : « Les trois élèves récompensés sont du même sexe ». B : « Les trois élèves récompensés ont la même spécialité sportive ». 1) Le nombre de cas possibles est 3 10 10! 10 9 8 C 120. 3!7! 3 2       a) A : « Les trois élèves récompensés sont du même sexe ». On a 6 filles et 4 garçons médaillés. Donc dans ce cas les récompensés vont être 3 parmi les 6 filles ou 3 parmi les 4 garçons. 3 3 6 4 C C 20 4 24 1 p(A) . 120 120 120 5       b) B : « Les trois élèves récompensés ont la même spécialité sportive ». Dans ce cas les récompensés vont être les 3 qui pratiquent le Judo ou 3 parmi les 4 qui pratiquent l’escrime ou les 3 qui pratiquent l’athlétisme. 3 3 3 3 4 3 C C C 1 4 1 6 1 p(B) . 120 120 120 20         L’évènement A B  : « Les trois élèves récompensés sont du même sexe et ont la même spécialité ». Cela correspond au seul cas : les trois élèves récompensés sont les 3 filles qui pratiquent l’escrime. D’où 1 p(A B) . 120   c) L’évènement : « Les trois élèves récompensés sont du même sexe ou de même spécialité sportive » est l’évènement A B.  1 1 1 24 6 1 29 p(A B) p(A) p(B) p(A B) . 5 20 120 120 120             2) Soit X la variable aléatoire qui à chaque choix de trois élèves récompensés, associe le nombre de filles figurant dans le groupe. a) Les valeurs possibles prises par X :   X( ) 0,1 ,2,3 .  b) Le groupe soit composé uniquement de garçons correspond à la valeur 0 prise par X. C'est-à-dire que les trois élèves récompensés sont parmi les 4 garçons. 3 4 C 4 1 p(X 0) . 120 120 30     c) On a :  (X 1)  : une seule fille parmi le groupe des élèves récompensés. Cela veut dire une fille et deux garçons sont récompensés. 1 2 6 4 C C 6 6 36 3 p(X 1) . 120 120 120 10         (X 2)  : deux filles parmi le groupe des élèves récompensés. Cela veut dire deux filles et un garçon sont récompensés. 2 1 6 4 C C 15 4 60 1 p(X 2) . 120 120 120 2         (X 3)  : le groupe des élèves récompensés est formé de 3 filles. Cela veut dire aussi qu’aucun garçon n’est récompensé. 3 6 C 20 1 p(X 3) . 120 120 6     La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau suivant : xi 0 1 2 3 p(X=xi) 1 30 3 10 1 2 1 6 d) 1 3 1 1 3 1 3 10 5 18 E(X) 0 1 2 3 1 1 ,8. 30 10 2 6 10 2 10 10               Exercice 3 f la fonction définie sur   0,  par 1 f(x) Logx. x   C la courbe représentative de f, dans un repère orthonormé (O,i, j). 1) x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 lim f(x) lim Logx ; car lim et lim Logx . x x                    x 0 lim f(x)   , d’où la droite d’équation x 0  est une asymptote verticale pour la courbe C. 2)a) x x x x 1 1 lim f(x) lim Logx ; car lim 0 et lim Logx . x x                2 2 x x x x x f(x) 1 1 1 Logx 1 Logx lim lim Logx lim 0 ; car lim 0 et lim 0. x x x x x x x                         b) On a x x f(x) lim f(x) et lim 0 x     d’où la courbe C admet une branche parabolique de direction l’axe(O,i). 3)a)   1 f(x) Logx ; x 0, . x     f est dérivable sur   0, et 2 2 2 2 1 1 1 1 x 1 x f '(x) Logx ' . x x x x x x                 b)   2 1 x f '(x) , x 0, . x     On a   2 On a 1 x 0 et x 0, d'où f'(x) 0 pour tout x 0, .       4)a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur   0, , d’où f est une bijection de   0, sur     f 0, .   D’où il existe un réel unique  tel quef( ) 0.  b)   1 1 f(1) Log1 1 0 1 0 ; f(2) Log2 0 d'où 1 , 2 . 1 2          5) La courbe C de f : 6)a)   F(x) x (1 x)Logx ; x 0, .      On a F est dérivable sur   0,  et on a : 1 1 1 F'(x) 1 Logx (1 x) 1 Logx 1 Logx f(x). x x x         D’où F est une primitive de f sur   0, .  b) On désigne par A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x 1 et x .    1 1 A f(x)dx F(x) F( ) F(1) F(x) (1 )Log 1unité d'aire.            1 c) On a : f( ) 0 Log 0 1 Log .        2 uploads/Sports/ corrige-sport-2014.pdf