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Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique Universit

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique Université Blida 1 Institut d’aéronautique et études spatiales PROJET N°3 L2 propulsion Préparé par : le professeur :  Ouled Jaafri A.Kader MR. RANANE module :RDM Année scolaire : 2021/2022 Définition : Les équations de transformation des contraintes planes peuvent être représenté sous forme graphique par un tracé connu comme cercle de Mohr. Cette représentation graphique est extrêmement utile parce qu'il vous permet de visualiser relations entre la normale et le cisaillement contraintes agissant sur divers plans inclinés à un point dans un corps stressé. En utilisant le cercle de Mohr, vous pouvez également calculer le principal contraintes, contraintes de cisaillement maximales et contraintes sur plans inclinés Le cercle de Mohr est une représentation graphique bidimensionnelle de la loi de transformation du tenseur des contraintes de Cauchy. Le cercle de Mohr est souvent utilisé dans les calculs liés à l'ingénierie mécanique pour la résistance des matériaux, l'ingénierie géotechnique pour la résistance des sols et l'ingénierie structurelle pour la résistance des structures construites. Il est également utilisé pour calculer les contraintes dans de nombreux plans en les réduisant à des composants verticaux et horizontaux. Après avoir effectué une analyse des contraintes sur un corps matériel considéré comme un continuum, . Le cercle de Mohr est ensuite utilisé pour déterminer graphiquement les composantes de contrainte agissant sur un système de coordonnées tourné, c'est-à-dire agissant sur un plan orienté différemment passant par ce point. Les étapes de dessin le cercle : Définir le système de coordonnées de contrainte de cisaillement : Définir le système de coordonnées pour les axes normal et de cisaillement - Les composantes de contrainte normale de traction sont tracées sur l'axe horizontal et sont considérées comme positives. Les composantes de contrainte normale de compression sont également tracées sur l'axe horizontal et sont négatives. Définir le système de coordonnées de torsion : Pour la construction d'un cercle de Mohr, les contraintes de cisaillement sont tracées AU- DESSUS de l'axe des contraintes normales lorsque la paire de contraintes de cisaillement, agissant sur des faces opposées et parallèles d'un élément, forme un couple DANS LE SENS HORAIRE (cw). Tracez les valeurs de contrainte de cisaillement : Tracez les valeurs de contrainte de cisaillement indiquées dans l'énoncé du problème ou tracez des points génériques sur l'axe σx et σy comme indiqué ci-dessous. Tracé de l'ampleur du couple : Tracez l'amplitude du couple indiqué dans l'énoncé du problème avec un couple dans le sens horaire (cw) tracé au-dessus de l'axe σx et un couple dans le sens antihoraire (ccw) tracé sous l'axe σx. Si ce n'est pas le cas, des valeurs sont fournies pour le tracez les points génériques des moments au-dessus et au- dessous de l'axe σ pour τxy, comme indiqué ci- dessous. Obtenir le centre du cercle de Mohr : Le centre du cercle de Mohr est obtenu graphiquement en traçant les deux points représentant les deux états de contrainte connus et en traçant une ligne droite entre les deux points. L'intersection de cette droite et de l'axe - est l'emplacement du centre du cercle. Dessinez le cercle de Mohr : Dessinez le cercle de Mohr en supposant que la ligne de connexion est le diamètre du cercle, en utilisant l'intersection de la ligne droite diagonale et de l'axe σ comme centre du cercle. Cas général Cercle de Mohr en état de contraintes planes. Considérons un point P d'un solide ayant un état de contrainte plane. Il s'agit typiquement d'un point de la surface d'une pièce où aucune force extérieure ne s'applique : pas de pression hydrostatique, pas de contact avec une autre pièce (surface libre). Nous supposons ici que l'on est dans un état de contraintes planes dans le plan (x,y). Le tenseur des contraintes est donc symétrique et de la forme  σx : contrainte normale sur la face normale à l'axe x ;  σy : contrainte normale sur la face normale à l'axe y ;  τxy : contrainte de cisaillement sur la face normale à l'axe z.  Le rayon du cercle vaut : ce rayon est égal à la cission maximale τmax.  Les abscisses des intersections du cercle avec l'axe valent et sont égales aux contraintes principales et .  Si l'on veut connaître les contraintes relatives à un vecteur faisant un angle θ avec l'axe des x dans le plan (x, y ), il faut prendre les coordonnées du point C situé à un angle -2θ du point A sur le cercle (i.e. l'angle vaut -2θ).  Si l'on appelle -2θp l'angle que fait l'horizontale avec le point A (i.e. ), la direction première principale est donné par le vecteur , qui fait un angle θp avec l'axe des x, la seconde direction principale lui est perpendiculaire. L'axe σn correspond à ces directions principales et l'axe τn représente les directions de cission maximale ; les axes géométriques x et y sont représentés par le diamètre [AB]. Cas simplifié L'état de contrainte au point P est dit triaxial lorsque le tenseur de contraintes est diagonal, avec des termes diagonaux non nuls. C'est typiquement un point d'un solide soumis à une pression hydrostatique ou lithosatique, et à une traction ou compression. L'essai triaxial est un essai pratiqué sur des sols (géotechnique). Le tenseur des contraintes est de la forme et l'on suppose que σx ≥ σy ≥ σz. Si l'on considère une surface de normale , alors le vecteur contraintes vaut ayant pour composantes : la contrainte normale est la composante de selon le vecteur : la composante tangentielle est obtenue par le théorème de Pythagore : soit Si l'on ajoute le fait que le vecteur est un vecteur unitaire, on a un système de trois équations dont on considèrera que les trois inconnues sont nx2, ny2 et nz2 : dont le déterminant vaut (Matrice de Vandermonde): La résolution de ce système (règle de Cramer) donne : Posons :  Cx = (σy + σz )/2, Rx = (σy - σz )/2 ;  Cy = (σx + σz )/2, Ry = (σx - σz )/2 ;  Cz = (σx + σy )/2, Rz = (σx - σy )/2. Le système est alors équivalent à : Compte tenu des signes des dénominateurs (celui de la deuxième équation est négatif alors que les deux autres sont positifs), et du fait que les membres des équations sont des carrés positifs ou nuls, on en déduit les trois inéquations : Recherche de la cission maximale : La rupture d'un matériau ductile — c'est le cas de la plupart des métaux à température ambiante pour des vitesses de déformation modérées — se fait toujours en cisaillement : l'effort nécessaire pour « arracher » les atomes est beaucoup plus important que celui nécessaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres (voir Déformation plastique). Pour une sollicitation donnée d'une pièce, il faut donc savoir dans quelle section la cission τ (tau) est maximale. Prenons le cas de la traction simple, ou traction uniaxiale, sur une éprouvette de forme cylindrique. On sait que lors de cet essai, le faciès de rupture va s'amorcer lorsqu'il est orienté à 45° par rapport à l'axe de l'éprouvette. Si l'on considère une section droite de l'éprouvette, celle-ci a une aire S0 ; la force F que l'on applique est normale à cette section, on a donc une contrainte normale σ0 qui vaut: et un cisaillement nul. Considérons une section inclinée d'un angle par rapport à la section initiale ; elle a une aire . Si l'on projette la force sur la normale à cette section, on obtient une force normale de module . La contrainte normale σ1 vaut alors: Si l'on projette sur la section, on obtient une force de module . La cission τ1 vaut alors: Plus la section est inclinée, plus T est grand, mais plus S est grand. Le rapport τ = T/S présente un maximum pour une section située à 45°, ce qui explique le faciès de rupture. Si maintenant on trace la courbe paramétrée (σ, τ) lorsque varie, on voit que l'on obtient un cercle de diamètre passant par l'origine, le cercle de Mohr. Les faciès de rupture sur les essais uniaxiaux (traction ou compression) mettent en évidence cette direction de cission maximale à 45°. Rupture en traction d'une éprouvette en aluminium de 8 mm de diamètre, avec plan de rupture à 45° Rupture en traction d'une éprouvette en acier de section rectangulaire 10 mm×3 mm, avec plan de rupture à 45° Rupture en compression d'une éprouvette en béton ; le plan de rupture n'est pas à 45°, en raison du frottement intergranulaire uploads/Voyage/ cercle-de-mohr.pdf