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II Tenseur des contraintes 17 II T enseur des contraintes Nous allons présenter

II Tenseur des contraintes 17 II T enseur des contraintes Nous allons présenter la notion de contrainte par extension de la mécanique des solides indéformables. Cette présentation est directement liée à la signification physique des contraintes, et offre l'avantage d'utiliser un bagage que vous maitrisez. A savoir : Le mouvement d’un solide indéformable est complètement déterminé dès que l’on connaît à chaque instant deux vecteurs : la force résultante et le moment résultant appliqués sur le solide (état actuel). En effet, la position du solide est définie par deux vecteurs également (la position de son centre de gravité et la rotation autour de ce centre de gravité) et le principe fondamental de la dynamique permet de relier la force résultante au déplacement du centre de gravité et le moment résultant à la rotation autour du centre de gravité. Nous allons isoler par la pensée un petit élément de matière quelconque et écrire le Principe Fondamental de la Dynamique "PFD". II-1 Tenseur des contraintes Imaginons un corps soumis à des efforts extérieurs, les contraintes sont des efforts intérieurs (ou efforts de cohésion) qui se développent au sein du milieu, ils sont dus aux interactions entre les particules du milieu. Soit un corps en équilibre que nous coupons en deux parties. La partie 1 reste à l'équilibre sous les actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées et sous les actions de la partie 2 sur la partie 1. Nous admettrons que sur chaque élément de la surface de coupe s'exerce une force élémentaire ( , ) dF T P n ds = avec ( , ) T P n : pression 2 ( / ) N m n ( , ) T P n ds = ds dF 2 1 Le vecteur ( , ) T P n est appelé vecteur contrainte en P par rapport à la facette de normale n . Ce vecteur a la dimension d'une pression. Le principe de l'action réaction ( , ) ( , ) T P n T P n − = − Montrons que le vecteur contrainte ( , ) T P n dépend linéairement de n Idée : consiste à isoler par la pensée un petit élément de matière pour faire apparaître les efforts de cohésion dans la matière. Un élément de volume sera un infiniment petit d'ordre 3 alors que les éléments de surface sont des infiniment petits d'ordre 2, ce que nous notons : 3 0 0( ) dv ε ε →  → et 2 0 0( ) ds ε ε →  → Écrivons les 3 équations, de résultante, déduites du PFD pour un petit trièdre de matière. La quantité d'accélération est un infiniment petit d'ordre 3, ce qui revient à écrire les équations d'équilibre suivantes:. 3 e 2 e 1 e 3 S 2 S 1 S S S : surface inclinée du trièdre de normale n i S : faces des plans( , ) j k e e du trièdre, surfaces de normale i e − PFD 3 ( , ) ( , ) 0( ) i i i i T P n ds T Q e ds ε + − = ∑ ( , ) ( , ) i i i i T Q e T Q e − = − ( , ) ( , ) i i i i T P n ds T Q e ds = ∑ or . i i ds ds n e = Mécanique des Milieux Continus & calcul des structures 18 ( , ) ( , ) i i i i T P n T Q e n =∑ Il existe donc un opérateur linéaire ( ) ( , ) P n T P n n σ  → = Les 3 équations de moment conduisent à la symétrie de l'opérateur : ij ji σ σ = Définition : Le tenseur des contraintes est défini dans l’état déformé, noté C σ : tenseur des contraintes de Cauchy Il permet d'exprimer la tension sur un élément de surface de normale n ( ) ( , ) P C T P n n σ = c’est une pression. 2 ( / ) N m La force élémentaire exercée sur cette surface est : ( , ) dF T P n ds = Ce tenseur est symétrique T σ σ = ( , ) T P n n P ds Dans un système de coordonnées cartésienne C σ est représenté par : 11 12 13 12 22 23 13 23 33 C σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ      =           ii σ contraintes normales ij σ contraintes de cisaillement Le matériau est dit en traction suivant la direction i e si la contrainte normale 0 ii σ > . on parlera de compression dans le cas contraire. La signification physique des coefficients de cette matrice est donnée par la figure ci-contre 11 11 1 21 12 31 13 ( , ) T P e σ σ σ σ σ σ         = =             1 ( , ) T P e 1 e 11 σ 21 σ 31 σ 3 e Les contraintes correspondent le plus souvent à des pressions très importantes (fonction de la cohésion du matériau), c'est pourquoi le Méga-pascal est couramment utilisé comme unité. 2 1 / Pa N m = et 6 2 10 1 / MPa Pa N mm = = Historiquement : Vous rencontrerez, dans certains ouvrages anciens, l'unité traditionnelle "l'hectobar" qui représente 10N par 2 mm soit approximativement 1Kgf par 2 mm . 1 10 hbar MPa = . Le tenseur des contraintes est une grandeur spatiale (définie dans l'état actuel) pour pouvoir effectuer les calculs dans une représentation Lagrangienne nous devons exprimer ce tenseur sur l'état de référence. Utilisons la transformation de surface présentée dans le chapitre précédent : T o nds J F Nds − = Nous obtenons L σ : Tenseur des contraintes de Piola-Lagrange ou 1er Tenseur de Piola-Kirchhoff ( ) P L o dF Nds σ = avec T L C J F σ σ − = II Tenseur des contraintes 19 Puis exprimons ( ) P dF sur l'état initial : 1 ( ) ( ) P P o dF F dF − = Nous obtenons K σ : Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff ( ) P o L o dF Nds σ = avec 1 T K C J F F σ σ − − = o dF pseudo tension Ce tenseur est symétrique En petites perturbations ces 3 tenseurs sont confondus, et on note : C K L σ σ σ σ = = = ExerExercice1I-1 : Équilibre de la matière On considère une plaque d'épaisseur uniforme h petite devant les autres dimensions. La plaque est soumise à un champ de force volumique f (pesanteur) et des actions mécaniques extérieures. On isole un petit parallélépipède de matière 1 2 dx dx h × × 1- Expliquer pourquoi ce parallélépipède est à l'équilibre, faire une figure pour représenter tous les efforts sur cet élément de matière. 2- Exprimer les efforts de cohésion en fonction du tenseur des contraintes. 3- En déduire les deux équations d'équilibre de résultante et l'équation d'équilibre de moment II-2 Propriétés du tenseur des contraintes La tension sur un élément de surface de normale n s'exprime par : ( , ) ( ) P n P T n σ = T n σ = Ce vecteur peut se décomposer en contrainte normale composante suivant la normale de la tension sur la facette et en un vecteur tangentiel, dit contrainte tangentielle ou contrainte de cisaillement. Soit : T n σ τ = + avec . n n T n t σ σ τ σ τ   = = − =   ( , ) P n T n ds τ σ II-2.1 Théorème de Cauchy Ce théorème souvent dit théorème de réciprocité des contraintes tangentielles, vient de la symétrie du tenseur des contraintes (absence de couple de masse dans le milieu). Mécanique des Milieux Continus & calcul des structures 20 Théorème de Cauchy : pour toutes directions n , ' n Nous avons ( , ) ( , ') . ' . P n P uploads/Voyage/ cours-mmc-rdm-chapii-pdf.pdf