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1 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE SERIE N° 06 ARRANGEM

1 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE SERIE N° 06 ARRANGEMENTS – PERMUTATION - COMBINAISONS PLAN DE LA LEÇON : I- GENERALITES 1- Produit cartésien de deux ensembles 2- Réunion de deux ensembles II- ARRANGEMENTS (sans répétition) 1- Exemple 2- Définition 3- Nombre d'arrangements de «p» éléments choisis parmi «n» Eléments 4- Remarque 5- Autre expression de A p n 6- Application COURS DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES 2 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE III- PERMUTATIONS 1- Exemple 2- Définition 3- Nombre de permutation de « n » éléments 4- Remarque IV – COMBINAISONS 1- Exemple 2- Définition 3- Nombres de combinaisons de «n» éléments d'ordres «p» 4- Propriété de C p n 3 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE I- GENERALITES : 1- Produit cartésien de deux ensembles : Considérons l'exemple d'une agence de tourisme organisant des voyages en autocars d'une localité "R" à une autre localité "B" en passant par la localité "P" soit en schématisant : * R P B - Entre "R" et "P" elle propose 3 circuits différents : - (RP) 1 passant par la localité "E" - (RP) 2 passant par la localité "S" - (RP)3 passant par la localité "F" Soit, en schématisant : * * * Entre "P" et "B" elle propose 2 itinéraires différents : - Itinéraire (PB)1 passant par la localité "T" et "V" - Itinéraire (PB)2 passant par la localité "C" et "L" Soit, en schématisant : (PB)1 * * (PB)2 R (RP)2 R F P (RP)3 R P P R E P (RP)1 R S P R P S P R S P R S P R S P R S P R S P R S P R S P R R F P P C L P L B L P C L B C P T V B 4 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE Question : Combien d'itinéraires (R-B) offre-t-elle à ses clients ? Inventorions les trajets possibles, il y a : (RP)1 puis (PB)1 (RP)1 puis (PB)2 (RP)2 puis (PB)1 (RP)2 puis (PB)2 (RP)3 puis (PB)1 (RP)3 puis (PB)2 L'ensemble de départ de type ("R"–"P") = (RP)1, (RP)2, (RP)3 L'ensemble d'arrivée de type ("P" – "B") = (PB)1 , (PB)2 On appelle "produit cartésien" de l'ensemble "RP" par l'ensemble "PB" l'ensemble de tous les couples considérés par un élément de "RP" et par un élément de "PB" pris dans cet ordre. L'ensemble produit "RP" × "PB" admet pour éléments les six couples suivants : PB (PB)1 (PB)2 (RP)1 ((RP)1 . .(PB)1) ((RP)1.. (PB)2) PR (RP)2 ((RP)2 . .(PB)2) ((RP)2. . (PB)2) (RP)3 ((RP)2 ..(PB)1) ((RP)3.. (PB)2) 5 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE D'ou : Si une expérience (RP) possède n(3) issues possibles, distinctes entre elles deux à deux et si expérience (PB) possède P(2) issues possibles, l'expérience (RP × PB) qui consiste à effectuer d'abord l'expérience RP, ensuite l'expérience PB possède n × p issues possibles distinctes entre elles deux à deux. Etant donnés deux ensembles E et F finis, en désignant respectivement par n(E) et n(F) leurs cardinaux, c'est-à-dire le nombre d'éléments de chacun d'eux, le cardinal de l'ensemble E × F est lié aux cardinaux de E et de F par : 2- Réunion de deux ensembles : Reprenons l'exemple de l'agence de tourisme décrit plus haut avec cette fois-ci : - De la localité "R" à la localité "B" 6 itinéraires : (R-B)1 , (R-B)2, (R-B)3, (R-B)4, (R-B)5, (R-B)6 - De la localité "R" à la localité "C" 3 itinéraires : (R-C)1 , (R-C)2 , (R-C)3 Combien d'itinéraires différents offre-t-elle ? Nombre de trajets offerts : ( R-B)1 + (R-B)2 + (R-B)3 + (R-B)4 + (R- B)5 + (R-B)6 + (R-C)1 + (R-C)2 (R-C)3. Soit 6 + 3 = 9 De façon plus mathématique on peut écrire : R-B = (RB)1 , (RB)2, (RB)3, (RB)4, (RB)5, (RB)6 R – C = (RC)1, (RC)2, (RC)3  RC RB ∅, lire RB inter RC égal ensemble vide (∅) est l'ensemble n'ayant aucun élément, c'est-à-dire l'ensemble vide. n (E×F) = n (E) × n(F) 6 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE D’où : si une expérience (RB) possède n(6) issues possibles distinctes deux à deux et si une expérience (RC) possède p(3) issues possibles les deux expériences n’admettant aucune issue commune (expériences incompatibles), l’expérience     RC RB  qui consiste à effectuer l’une ou l’autre des expériences     RC RB  qui consiste à effectuer l’une ou l’autre des expériences (RB) ,(RC) possède (n + p) issues possibles deux à deux distinctes. Soit donc : Etant données un ensemble fini Ω (lire OMEGA) et deux ensembles disjoints de Ω, A et B, on a la relation suivante entre cardinaux : Avec (A ⋂ B) = ∅ Lorsque A ⋂ B = ∅, la réunion A U B se note : A + B n( A B) = n (A) + n(B) n ( AB) = n (A)+n(B) -n (A⋂ B) Plus généralement: B) = n (A) + n (B)  n(A A B A B A∩B n( A B) = n (A) + n(B) - n(A ⋂ B) 7 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE II- ARRANGEMENTS (Sans répétition) : 1- Exemple: Le comité Directeur d’une entreprise d’assurance est composé de 5 personnes « ABCDE », ce comité doit désigner parmi ses membres un « bureau » composé de 3 personnes ayant les qualités de : - Président (P) - Secrétaire (S) - Trésorier (T) Question : Quel est le nombre de « bureau » qu’il est possible de former en supposant que chacun des membres du comité est capable d’exercer chacune des fonctions énumérées ci-dessus et qu’une personne ne peut cumuler plusieurs fonctions ? Solution : Deux bureaux peuvent être différents : - Du fait de l’identité des membres qui le composent (Exemple : ABE et ACD) ; - Du fait des fonctions attribuées à des membres (exemple : ABE et BEA) Si on admet que le 1er nommé est Président, le 2ème Secrétaire et le 3ème Trésorier ; - Pour occuper tout d’abord le poste de Président, 5 personnes peuvent être désignées - Pour occuper ensuite le poste de Secrétaire, 4 personnes peuvent être désignées. - Pour occuper enfin le poste de Trésorier, 3 personnes peuvent être désignées. Le nombre de bureaux possibles est donc de :5 × 4×3 = 60 8 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE La composition de ces 60 « bureaux » apparaît dans le tableau ci- dessous chaque bureau constituant un arrangement sans répétition (pas de cumul de fonctions). « P » « S » « T » « P » « S » « T » « P » « S » « T » « P » « S » « T » C A B C D E C E B D B C D E E D D A A C A D B B E C C A C D E C B C E D E E D A C E C B E C A A B A D E B A E C B C D B B E D D A B C E B A E D E A A 9 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE « P » « S » « T » 2- Définition : On appelle arrangement dans répétition d’ordre p d’un ensemble E composé de « n » éléments un sous-ensemble strictement ordonné de p (p<n) éléments de E 3- Nombre d’arrangements de P éléments choisis parmi n élément : Soit un ensemble E à n éléments E = n1, n2,……nn Problème : Combien de sous-ensembles E’ (formés de « p » éléments) choisis parmi les « n » précédents (o< p < n) il est possible de constituer compte tenu du rang de ces éléments. Disposons sur une droite de « p » boites identiques numérotées de 1 à p. Dans la 1ère boite nous pouvons placer l’un quelconque des n éléments. A C A D C C E B E D B B D C B A A ARBRE FACTORIEL 11 G07/ CYCLE I/ SERIE 06 G07.1.6.5.2 “PROPRITE CNEPD” PAGE Dans la 2ème boite nous pouvons placer l’un quelconque des (n-1) éléments. Dans la 3ème boite nous pouvons placer l’un quelconque (n-2) éléments. …………………………………………………. Dans la Pième boite nous pouvons placer l’un quelconque des éléments des (n-(p-1) des éléments. Nombre des boites 1 2 3 -------------------P Nombre de choix (n-2) D’après la règle précédemment énoncée le nombre des arrangements cherché est donc égal au produit des nombres des nombres de choix. Ce nombre est désignée par l’expression : A n p lire « A,n , p » ou nombre des arrangements de n éléments p à p » Nous pouvons donc écrire : A n p = n( n -1) (n-2).(n-(p-1). 4- Remarque : Reprenons uploads/Voyage/ 5-statistiques.pdf