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TD3/ Méca-1/MMC 27 Septembre 2001 1. Champ de contraintes dans une poutre On co

TD3/ Méca-1/MMC 27 Septembre 2001 1. Champ de contraintes dans une poutre On considère le champ de contraintes suivant dans le domaine 0<x1<L, -c<x2<c et en coordonnées cartésiennes, en posant I=4c3/3 : s11= (p/I) (x1 2x2-(2/3) x2 3 ) ; s22= (p/I) ((1/3) x2 3 – c2 x2 + (2/3) c3) ; s12= (p/I) ((c2-x2 2) x1 ) 1. Montrer que Divx s s s s = 0 2. Evaluer le vecteur contraintes sur les faces x1={0,L}, x2={-c,c}. 3. Evaluer la résultante des efforts exercés sur la face x1=x10 par la partie du domaine x1≥x10 ainsi que le moment de ces efforts en (x10,0). 4. Si on suppose que c<<L, à quel chargement approché correspond ce champ de contraintes 5. Application numérique : On considère une aile d’avion (assimilée à un parallélépipède) d’envergure L=20m, de demi-épaisseur c=1m, soumise à une portance p=Cz raV2/2 que l’on supposera répartie uniformément. (Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3). Calculer s11max. 2. "Essai brésilien" On considère un disque de diamètre d, soumis à deux forces P radiales, appliquées sur la circonférence et diamétralement opposées. On examine le champ de contraintes suivant, compte tenu des notations de la figure, où a est une constante que l'on définira à la question 2: s s s s/a = (cos q1/r1) ir1ƒir1 + (cos q2/r2) ir2ƒir2 - (1/d) I 1. Montrer que Divx [(cos q/r) irƒir] =0, r, q, ir ayant les significations habituelles en coordonnées cylindriques. En déduire que Divx s s s s = 0 (Indication : Divx(aƒb) = Dxa(b) + divxb a, Dx(a a) = a Dxa + aƒ— — — —xa ) 2. Montrer que s s s s(n)= 0 le long de la surface libre r=d/2. On ne considérera que des points éloignés des points d'application de P. 3. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x2=0. Calculer la résultante et en déduire la constante a. (Indication : La primitive de 1/(1+x2)2 est: x/(2(1+x2)) + Arctg(x)/2. ) 4. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x1=0. En déduire pourquoi un matériau peu résistant en traction casse sur cet axe. 5. Application numérique : On considère un échantillon cylindrique en béton de hauteur H=0.1 m, diamètre d=0.1m. La force maximale mesurée est : Fmax=2 104 N. Calculer la résistance à la traction du béton. q1 q2 q r1 r2 P r x1 x2 d www.almohandiss.com www.almohandiss.com 2 TD3/Eléments de solution: 1. Exercice 1: 1. On vérifie que ∂sij/∂xj vaut identiquement zéro. Remarque : Ce champ de contraintes vérifie également les équations de Beltrami ; il lui est donc associé un champ de déplacements si le comportement est élastique. 2. Le vecteur contraintes est s s s s(n). Sur les faces x2=-c par exemple, il vaut : s s s s(-i2) = -s22i2-s12i1 ; il correspond à l’action de l’extérieur sur la pièce. s11(0,x2) = -p/2 (x2/c)3, s12(0,x2)=0, s11(L,x2) = (3p/4) (L2x2/c3-2/3 (x2/c)3 ), s12(L,x2)=(3p/4) (L/c) (1-(x2/c)2) ; s12(x1,c)=0, s22(x1,c) = 0, s12(x1,-c)=0, s22(x1,-c)=p On a donc une poutre chargée sur sa face inférieure par une pression -p et ainsi que par des forces sur les faces x1=0 et L. Si la poutre est élancée L>>c, s11(0,x2) est d’ordre 1 en L/c, alors que s11(L,x2) et s12(L,x2) sont d’ordre (L/c)2 et (L/c) respectivement. L’action exercée sur la face x1=0 devient négligeable. Les contraintes sont maximales en x1=L et pratiquement uniaxiale car s12 est d’un ordre de grandeur plus petit que s12. On note que rapidement s11 est linéaire en x2. 3. Torseurs Ú s11 dx2 = 0, Ú s 12 dx2 = p x10 : on peut retrouver cela en raisonnant au niveau de la coupure 0£x1£x10 à partir des actions exercées sur les faces. Ú x2 s11 dx2 = p (x1 2/2 –c2/5) ~px1 2/2 (formule classique RDM), Ú x2 s12 dx2 = 0 4. A.N. : L=20m, c=1m , Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3, p=Cz raV2/2 = 0.8 x1x4.104x0.5 = 16000 Pa s11(L,c) ~ (3p/4) (L2/c2) = 3x16000/4x(20)2 ~5 Mpa Poutre épaisse : c=L/5 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 3 Isovaleur s11 Poutre élancée : c=L/10 Isovaleurs s12 Les isovaleurs de s22 sont des droites x2=cst 2. Exercice 2: Essai brésilien Eléments de solution 4. Divx ((cosq/r) irƒir) On rappelle : Divx(a A) = a DivxA + A(— — — —xa) Divx(aƒb)= Dxa(b) + divxb a On en déduit : Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) Divx (irƒir) + (irƒir)(— — — —x(cosq/r)) = (cosq/r) (Dxir(ir) + divxir ir) + (ir,— — — —x(cosq/r)) ir — — — —x(cosq/r) = (-sinq/r) iq/r – (cosq/r2) ir , Dxir = ∂qirƒiq/r= iqƒiq/r Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) (0 + (1/r) ir) - (cosq/r2) ir = 0 Remarque : avec la formule classique, on trouve le même résultat : ∂srr/∂r + (1/r) ∂srq/∂q + (srr - sqq )/r = - cos q1/r1 2 + cos q1/r1 2 = 0 2. Sur le pourtour r=d/2, n=er, cos q1/r1 = cos q2/r2 = 1/d, et : (er1 , er2)=0 ; d'où: s s s s(n)= a/d [ (er1, er) er1 + (er2, er) er2 - er ] = 0 3. sur x2=0, q=0, q1=q2, r1=r2 , cos q1 = d/2r1 , r1 = (d2/4 + r2)1/2 ; n=-i2 , (er1 , -i2) = cos q1, (er2 , -i2) = - cos q2, www.almohandiss.com www.almohandiss.com 4 s s s s(n) = a [(cos2 q1/r1) er1 - (cos2 q2/r2) er2 + (1/d) i2] s s s s(n) = a [(cos2 q1/r1) (sin q1 i1 - cos q1 i2) - (cos2 q2/r2) (sin q2 i1 + cos q2 i2) + (1/d) i2] s s s s(n) = a [-2 cos3 q1/r1 + (1/d) ] i2 = a/d [-d4/4r1 4 + 1 ] i2 donc, il n'y a pas de cisaillement sur cet axe; si r1=d/2, (au centre), la contrainte normale est max. et vaut: -3a/d si r1=d/÷2, (au bord), la contrainte normale vaut zéro. Résultante (des forces de contact de la partie inférieure x2<0 sur la partie x2>0: (a/d) Ú]-d/2,d/2[ [-d4/4(d2/4 + r2)2 + 1 ] dr = - (a/d) dp/2 = - a p/2 = P on en déduit a. Répartition de s22 sur l'axe x2=0: 4. Sur l'axe x1=0, q1=q2=0, q= ±p/2, er1 = -i2, er2= i2 , n = i1 (si on regarde l'action de x1>0 sur x1<0): s s s s/a = - (1/d) i1 il n'y a, à nouveau, pas de contrainte de cisaillement. Comme a et d sont positifs, la contrainte normale est une traction. L’essai est intéressant car il est difficile de pratiquer un essai de traction simple sur le béton, à cause des problèmes d’arrimage de l’échantillon à la presse. 5. Application numérique : s11max = -2P/pd = 2F/(pdH) ~ 1.27 MPa -0.4 -0.2 0.2 0.4 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 5 Isovaleurs s s s s22 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 6 Isovaleurs s11 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 7 Isovaleurs s12 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 8 www.almohandiss.com www.almohandiss.com uploads/Voyage/ 6-exercices-corriges-mmc.pdf