Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Mécanique des Milieux Continus Au sens strict du terme, la mécanique des milieu

Mécanique des Milieux Continus Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C. parfois) est la branche de la mécanique qui se propose d'étudier l'étude des mouvements, des déformations, des champs de contraintes au sein de milieux continus. Définition : D1. Nous désignons par "milieu" tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire. D2. Nous désignons par "milieur continu" un milieu tel que si M et M' appartiennent à un milieu et si M' appartient au voisinage M, alors quelle que soit la déformation subie par ce milieu, dM' appartiendra au voisinage de dM. Cette branche apparaît souvent comme la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent: mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées, satellites, navigation des bateaux, déformations des corps solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches à la mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à la thermique, l'énergétique, l'acoustique. Prenant en compte les comportements des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la dynamique des gaz, l'élasticité, la plasticité et d'autres comportements. Elle est la clé de ce que nous appelons aujourd'hui la "modélisation", qui n'est autre que l'art d'analyser un phénomène physique et de le décrire en termes mathématiques, ce qui permet de l'étudier avec la rigueur propre à cette discipline. Cette section du site est séparée en 4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas. Dans chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques spécifiques à l'étude de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute relative) croissante. Cependant, par choix il a été décidé d'exposer les théorèmes avec les outils mathématiques les plus simples possibles mais tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple, l'équation de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements mathématiques rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non négligeable aussi bien pour l'auteur que pour le lecteur à procéder ainsi. Remarque : concernant les équations de Navier-Stokes, nous donnerons des exemples pratiques de celles-ci lors de notre étude de la météorologie. SOLIDES Des atomes d'un même élément ou d'éléments différents s'assemblent en des édifices spécifiques. Cela conditionne la force de leurs interactions électriques, qui définissent la structure finale de la substance. Dans les conditions normales sur notre planète, la matière existe à l'état solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont assez intenses , la collection de particules conserve sa forme et son volume. Cette propriété de conserver la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques distinguent les solides. PRESSIONS Les notions de "compression" et "contrainte" (que nous pouvons englober dans le terme de "pression") sont de première importance en mécanique des fluides. Il convient donc de définir ces différents types de pression avec le plus de rigueur possible. D1. Nous appelons "pression de compression" et nous notons traditionnellement le rapport entre la force qui s'exerce (s'appuie) sur un élément de surface . Ainsi, sous forme scalaire: Si une force agit sur une surface finie, nous parlons alors de "force répartie". D2. Nous appelons "pression de contrainte" et nous notons le rapport entre la force qui tire sur un élément de surface . Ainsi, sous forme vectorielle: où et sont respectivement les contraintes normales et tangentielles. Nous pourrions très bien englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler avec les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce qui est enseigné dans les écoles, nous garderons ces deux définitions qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces sont opposées par rapport à un élément de surface . ÉLASTICITÉ DES SOLIDES D'une manière ou d'une autre, une contrainte de compression ou de traction peut déformer le triplet hauteur, largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude d'un cas qui déforme ces trois paramètres est une peu long et sera abordée dans le chapitre traitant de la détermination de l'expression du module de Young de cisaillement. Mais il est utile, ne serait-ce que du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir du cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps élastique d'une dimension (ayant ni hauteur, ni largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces de contraintes parfaitement colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imager que le corps en considération s'allonge d'un certain facteur. Définition: la déformation normale sous des forces axiales et antagonistes est donnée par le rapport entre la variation de longueur du corps sur sa longueur initiale tel que: Cette relation est une forme extrêmement simplifiée de tous les types de déformations qu'il peut exister et que nous verrons plus loin en détails. Il y a nécessairement une relation entre les forces de compression et de traction et la variation de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante de la structure atomique du matériau et devrait rigoureusement faire appel à la physique quantique pour être déterminée (nous nous en abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons cependant suivant les matériaux des caractéristiques diverses qui intéressent aux plus hauts points les ingénieurs: Les figures ci-dessus représentent la variation de la contrainte de compression en fonction de la déformation pour certains matériaux (habituellement nous représentons ces caractéristiques en inversant les axes). Les matériaux ductiles comme l'acier doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité . Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord en dépliant leurs molécules (voir la section de chimie sur les polymères) puis en tirant sur les liaisons chimiques (voir chimie quantique). La plupart des matériaux biologiques (c) sont sous contrainte, même lorsqu'ils ne sont pas déformés. La peau, par exemple, est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps. L'élastine (d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes biologiques tels que les artères. Un tendon est fait principalement de collagène. Dans un cas plus général, les ingénieurs ont pour habitude de définir les points représentés ci-dessous dans leurs mesures d'essais de traction: La caractéristique ci-dessus comporte une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine classe de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique est une constante, qui reflète la déformation élastique du matériau sous l'effet de la contrainte croissante. Cette contrainte élastique par unité de déformation définit le "module de Young" (il n'y a pas de composante tangentielle dans ce cas d'étude !): cette relation étant valable aussi bien en contraintes de compression qu'en traction. LOI DE HOOK Étant donné les définitions données précédemment, nous définissons la relation: qui est par définition la "loi linéaire de Hook" en contrainte normale. Il est assez intuitif de supposer que plus la force de liaison des atomes constituant le matériau étudié est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner les atomes, donc pour étirer le corps. Les solides qui ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température de fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la chimie quantique). Si nous notons : Nous nous retrouvons avec la loi que nous connaissons: qui est la force de rappel des ressorts. Mais il existe plusieurs types de contraintes avec leurs modules respectifs. Ainsi voici la définition des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique: D1. Nous définissons le "module de cisaillement" ou "module de rigidité": et le "module d'élasticité de glissement" ou "module de Coulomb" (dont nous démontrerons plus loin la provenance): où est l'angle de déformation et le coefficient de Poisson. Généralement cet angle étant petit: D2. Nous définissons le "module de compressibilité omnidirectionnel", comme le rapport de la contrainte volumique à la déformation volumique (nous démontrerons plus loin les développement mathématiques qui amènent au dernier terme de la relation): Nous pourrions encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion, de flexion pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons certains d'entre eux plus loin. Pour chacune des différentes définitions de modules que nous pouvons envisager, nous pouvons définir une loi de Hook qui lui est adapté. Cependant, tout cela peut vous paraître assez arbitraire mais au fait il n'en est rien car toutes les définitions de modules que nous avons vues précédemment sont un cas particulier d'un relation mathématique généralisée donnée par (nous le démontrerons plus loin) la relation tensorielle: Nous espérons pouvoir un jour dans ce site présenter le développement qui nous permet d'arriver à cette relation. En attendant, les développements qui vont suivre et qui n'utilisent par choix personnel en aucun cas le calcul tensoriel, doivent suffire aux étudiants des hautes écoles relativement aux objectifs qui doivent êtres atteints dans leur programme scolaire. MODULE DE GLISSEMENT La condition nécessaire pur qu'un solide rigide soit en équilibre statique est comme nous l'avons vu en mécanique classique, que la résultante des forces que l'extérieur exerce sur le corps soit nul: Cependant, quand un solide subit des contraintes et qu'il peut en uploads/Voyage/ mecanique-des-milieux-continus.pdf