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Initiation à l'élasticité/Forces et contraintes Force Vocabulaire Ensembles de

Initiation à l'élasticité/Forces et contraintes Force Vocabulaire Ensembles de force Résultante de force Vecteurs Contraintes Définition Représentation et décomposition Pression Tenseur des contraintes Motivation Définition du tenseur des contraintes Intérêt du tenseur des contraintes Contraintes principales, directions principales et invariants du tenseur des contraintes Interprétations et représentations du tenseur des contraintes Interprétation des représentations du tenseur des contraintes dans différents repères Interprétation des termes du tenseur des contraintes dans différents repères Décomposition du tenseur des contraintes Partie sphérique de Partie déviatrice ou déviateur de États de contraintes particuliers État de traction simple États de cisaillement pur État plan de contraintes Cercle de Mohr Ellipsoïde de Lamé Représentation graphique et physique de à partir de Définition des conditions limites sur les contraintes Exemples Exemple de contraintes limites sur une poutre encastrée Théorème de Saint-Venant Fin de l'exemple de la poutre Conclusion Analyse des conditions aux limites Sommaire Force Définition C'est une cause physique capable de modifier les déplacements d'un corps. Dans la littérature, on retrouvera différents termes désignant la force, par exemple la sollicitation, l’effort ou éventuellement l’actions mécaniques. Dans cette leçon, nous parlerons de force. On distingue deux types de forces : 1. Les actions mécaniques ou efforts de contact qui s’exercent sur une surface : Forces de Surface. 2. Les actions mécaniques ou efforts à distance qui s’exerce sur un volume : Forces de Volume. La représentation mathématique d'une force se fait par un vecteur qui s'applique au point M. M est centré au choix sur : un élément dS (Force de Surface), un élément dV (Force de Volume). : la norme représente la valeur de la force en Newton. Pour connaitre la dimension d'une force on effectue: Parmi les efforts de surface il y a les efforts de cohésion qui représentent les efforts générés par la matière pour rester cohérente. Si les efforts dans la pièce mécanique dépassent les efforts de cohésion limites, la pièce casse. Un champ de vecteur : ensemble de vecteur défini sur un volume de l'espace Exemple: On entendra par champ de force, l’ensemble des forces sur une surface (x,y,z) (autre exemple : le champ de vitesse,...) Densité de forces : force linéique appliqué sur une poutre on décrit une force par l'intermédiaire d'une densité Vocabulaire M centré sur un élément dS M centré sur un élément dV Ensembles de force Exemple de densité de force Force exercée par l'eau sur un barrage "P=ρgz" ou (ou ρgh) ρ : masse volumique de l'eau g : norme de la gravité P : pression que l'eau exerce sur le barrage (densité de force) Pratique : → on peut facilement décrire un champ dont la force varie en fonction de la position Mathématiquement : [d = -ρ dS ] Pour calculer la résultante par l'eau sur toute la surface : Autre exemple de densité de force La gravité : [ = ρ ] densité de force (de volume) -Poids = dV Notion de densité de force : Souvent la même notation est utilisée pour la force et pour sa densité : On définit : - la densité de force de surface F/longueur F/surface "densité de force" → même dimension qu'une contrainte F/volume Soit un volume de surface S de volume n de normal Sur cet objet sont appliquées des forces (de surface, de volume). Ces forces là qui sont appliquées sur la surface extérieur de l’objet sont appelée densité de force si nécessaire. Les forces de cohésion ne sont pas décrites par des densités de force mais par des contraintes. - la densité de force de volume Exemple Soit un champ de force qui s'exerce sur la surface S. dS dS Torseur de l'eau M point d'application de locale. Torseur de l'eau sur le barrage : dS dS Torseur des efforts : Résultante d'un champ de force en un point: A Torseur de en A La force de résultante (force ponctuelle) est toujours la résultante d’un ensemble de forces de surface. La notion de vecteur contrainte est plutôt relié aux forces de cohésion. On se place à l’intérieur d’un volume de matière. Soit M un point de V autours duquel on définit ΔS surface de ΔV Sur ΔS existe un champ de force de cohésion Δ (ce n’est pas une densité de force) Δ s’exerce sur cette surface la qui passe par M, on définit ΔS par la normal en M. Résultante de force Vecteurs Contraintes Définition Définition Un champ de contraintes est une fonction vectorielle qui définit un ensemble de vecteurs contraintes sur une surface. = Force qui s’exerce au point M sur la surface de normal Principe de la mécanique classique : est le vecteur contrainte qui s’exerce en M sur la surface de normal On définit alors le vecteur contrainte comme ceci: Cette définition est une définition théorique, en pratique on détermine par d'autres moyens, notamment avec les équations de la mécanique et on utilise l'équation précédente pour trouver : est une force extérieure au système et donc est la contrainte extérieure qui est appliquée sur la surface considérée. On définit un champ de contraintes , c’est l’ensemble des vecteurs contraintes définis sur V, le volume. La représentation de dépend au total de 5 paramètres : 3 paramètres pour les coordonnées du point M 2 paramètres pour la surface (coordonnées de Représentation et décomposition Expression de la dimension de la contrainte : L'unité de la contrainte est le Pascal. L'ordre de grandeur de la contrainte dans un métal est le MPa. La décomposition de Lien entre l'outil mathématique et la réalité. On définit un repère local à partir de . On va exprimer par rapport à en M. La décomposition de se fait sur ce repère. On écrit : Avec : contrainte normale. : contrainte tangentielle de cisaillement. Méthode pour calculer et : Dans certains ouvrages on définit , un vecteur tangent unitaire Conditions pour définir : pour définir la direction sens repère direct On définit cette décomposition par intérêt pratique et physique mais aussi pour introduire les notions de pression et de cisaillement. On observe en pratique que les materiaux sont plus sensibles au cisaillement. La Pression PAmbiante est supérieure à 0 et elle génère un vecteur contrainte toujours normal à la surface S et dirigée vers S. Avec le vecteur normal à S, on écrit alors pour un objet uniquement soumis à la pression : Pression Pour comprendre les problèmes posés par la représentation des contraintes on doit déterminer quelle est la surface à prendre en compte lorsque l’on considère: Soit une plaque: Quelle est la contrainte appliquée en M ? Première approche : On choisit appliquée sur On définit une surface qui passe en M grâce à son vecteur normal en M: On choisit un repère centré en M, orthonormé cartésien choisi en fonction de la géométrie de la pièce et des sollicitations. Soit avec S la section (surface) est définie par M et . Pour déterminer quel est le vecteur contrainte en M sur S il faut déterminer la force appliquée par l'extérieur sur S. Par équilibre, sur S l'effort est : réparti sur S; et la résultante de est opposée à la résultante de Tenseur des contraintes Motivation La force appliquée en d'où Soit l'épaisseur et la hauteur on a : et varie suivant la surface choisie Lorsque l’on parle d'un vecteur contrainte en un point M il faut préciser la surface sur laquelle il est appliqué: On souhaite définir un outil mathématique qui permet de décrire la contrainte en M sans avoir à préciser la surface. Comment définir mathématiquement un vecteur en M avec une définition cohérente de la surface S ? Le tenseur des contraintes est par définition un outil mathématique qui permet de définir complètement l'état de contrainte en un point M. Attention aux notations : Le tenseur des contraintes est généralement noté Il ne faut pas confondre : la contrainte normale le tenseur des contraintes le vecteur contrainte est représenté par une matrice carrée 3x3 (espace 3D) dans un repère donné. Définition du tenseur des contraintes Exemple en deux dimensions (O, , , ) Définition implicite du tenseur des contraintes : Considérons la relation dans le cas d'une poutre en traction simple : Soit le tenseur donné : (O, , , ) L'effort est appliqué sur la poutre selon l'axe Soit le vecteur normal : Soit le vecteur contrainte : Expression de la contrainte normal sur On part d'un défini en un point M, en 3 dimensions. On suppose que est symétrique. La matrice qui représente admet alors 3 valeurs propres et 3 vecteurs propres. Les valeurs propres définissent les contraintes principales Les vecteurs propres définissent les directions principales Convention de notation: où est la plus grande. Intérêt du tenseur des contraintes Contraintes principales, directions principales et invariants du tenseur des contraintes Contraintes principales : Directions principales: Quand on cherche les directions principales on cherche un repère dans lequel le tenseur est diagonal. Le repère dit "repère principal" est défini à l'aide des vecteurs propres normés et ordonnés dans le sens direct. Notation : le uploads/Voyage/ initiation-a-l-x27-elasticite-forces-et-contraintes.pdf