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L. DORùrtlEUX Université Paris-Ësf Insfituf Nawer Cité Dtescarfes Champs-sur Ma

L. DORùrtlEUX Université Paris-Ësf Insfituf Nawer Cité Dtescarfes Champs-sur Mayne 77454 nularne-rijj iyr, d,o rmi eux@Imsgc. e np c . fr Une approche micro- , mécanique de la notion de contrainte effective en ,o mécanique des milietx poreux La présente étude se propose d'aborder la notion de contrainte effective dans le cadre d'une approche micromécanique. A la suite des travaux classiques d'Auriault et Sanchez-Palencia (7977), on revisite brièvement la poroélasticité linéaire. Puis on s'intéresse au cas où la phase solide possède un comportement élastique non linéaire. On établit certains résultats généraux sur le rôle de la pression de pore dans le critère de rupture du milieu poreux. On applique enfin les techniques d'homogénéisation non linéaire pour déterminer la forme mathématique de ce dernier. Mots-clés : contrainte effective, homogénéisation, non linéaire, rupture. l'sl IE l= IcD l.Sl lÉ, l{r, IrJ tfo t\- | {-, |3t l-o t< I'IDIR : Les discussr:ûns sut' cet article sont acceptées jùsqu'au Tu' ,août 20t8, 55 REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE N'122 1"'trimestre 9008 A micromechanical approach of the effective stress concept in poromechanics The present paper considers the effective stress concept in the framework of a micromechanics reasoning. Following the classicai works of Auriault and Sanchez-Palen cia (197 7), linear poroelasticity is first briefly revisited. Then, the case of a non linear elastic behavior of the solid phase is examined. Some general results concerning the influence of the pore pressure on the strengh of a porous medium are presented. The strength criterion is derived in particular cases by means of non linear homogenization techniques. Key words : effective stress, homo gentzation, non lineal strength. 5ô E lntroduction Lintroduction du concept de contrainte effective en mécanique des milieux poreux est due à K. Terzaghi et M. Biot qui l'ont formulé de façon indépendante dès la première moitié du xxe siècle. Il ne s'agit pas ici de faire l'historique de ce concept. Cependant, il est incontes- table que son impact sur l'essor de la géotechnique a été décisif. Sur le plan théorique, il semble que la justification de l'idée de contrainte effective ait d'abord été apportée dans le cadre de la théorie linéaire de la poroélasticité, qui suppose que le comportement ,Ce la phase solide est élastique linéaire. Cependant, de nom- breux auteurs, notamment à la suite de Terzaght, ont cherché très tôt à l'utiliser dans le domaine du compor- tement irréversible de la phase solide et de l'analyse de la résistance des milieux poreux. Par ailleurs, alors qu'il avait été initialement introduit pour des matériaux saturés par une phase fluide unique, le recours à ce concept dans des situations multiphasiques a égale- ment été envisagé sous diverses formes (Bishop, 1960 ; Fredlund, 1985 ; Coussy, 1995 ; Schrefler et al., lgg7 ; Château et Dormieux, 2002). La présente étude se propose d'aborder la notion de contrainte effective dans le cadre d'une approche micromécanique. A la suite des travaux classiques d'Auriault et S anchez-Palencia (1977), on revisite briè- vement la poroélasticité linéaire. Puis, or s'intéresse au cas où la phase solide possède un comportement élas- tique non linéaire. on établit certains résultats géné- raux sur le rôle de la pression de pore dans le critère de rupture du milieu poreux. On applique enfin les techni- ques d'homogénéisation non linéaire pour déterminer la forme mathématique de ce dernier. Le point de vue micromécanique consiste à consi- dérer la particule élémentaire introduite classiquement par la mécanique des milieux continus comme une structure et à déduire le comportement du matériau de la réponse de cette structure lorsqu'elle est sou- mise à un chargement défini de façon adéquate. Plus précisément, la mise en æuvre du raisonnement d'ho- mogénéisation dans les milieux hétérogènes à micro- structure aléatoire repose sur la notion de volume élé- mentaire représentatif (v.e.r.). Ce dernier incorpore de façon statistique l'ensemble des informations relatives à la géométrie de la microstructure et aux propriétés mécaniques des constituants. A cet effet, sa taille doit être grande devant celles des hétérogénéités (dimen- sions caractéristiques des pores et des grains). Le v.e.r. sur lequel on travaille dans la suite est un volume Ç). 11 est subdivisé en un sous-domaine solide et un espace poreux. Le vecteur position dans O à l'échelle microscopique est noté z. Les efforts intérieurs dans le v.e.r. et les déformations qu'il subit sont décrits : - à l'échelle microscopique, par un champ de contrainte o (ù et un champ de déformation e (ù ; à l'échelle macroscopique,, par un tenseur de contrainte I et un tenseur de déformation E. La configuration de référence du v.e.r. correspond à l'état naturel en l'absence de contrainte macrosco- pique et de pression de fluide dans l'espace poreux. ai et a! représentent les configurations de référence de la phase solide et de l'espace poreux. Ç)o - Ç): U O: représente ainsi la configuration de référence dù v.e.rl et lQol désigne le volume correspondant. Sous l'action d'un chargement mécanique, le sous- domaine solide et l'espace poreux subissent une trans- formation géométrique au terme de laquelle ils occu- pent respectivement les volumes Ç)' et Qp. I'r désigne la position actuelle de l'interface solide/pores. Dans toute la suite, on fait l'hypothèse de transformations infinitésimales. Sans restreindre la généralité, il est commode de supposer que la frontière extérieure du v.e.r. appartient à la phase solide. Pour rendre compte de la connexité de l'espace poreu& il suffit de supposer que la pression de pore qui règne dans Qp est uniforme. Pour la suite, il est commode d'introduire le rap- port Q - lQpl/lcl"l qui fournit une valeur normalisée du voiume actuel de l'espace poreux. Dans la configu- ration de référence, 0 = 0o, n'est autre que la porosité initiale <po. Cependant, les variations de 0 sous l'action d'un chargement mécanique ne sont pas égales à celles de la porosité. Étant donné un champ a(ù défini sur Ç), a, as et âp désignent les valeurs moyennes au sens intégral usuel du champ a respectivement sur ç), ç)'et Qp. On note 7 et I les tenseurs identités du second et du quatrième ordre. On introduit également J = 1/3 7 A 1 et K = I - J. E Poroélasticité I inéa ire Dans cette section, le comportement du solide est élastique linéaire. Les propriétés du solide, suppo- sées homogènes, sont caractérisées par le tenseur des modules d'élasticité C', ou par le tenseur de souplesse S'= C'-1. Pour certaines illustrations, on se placera dans le cadre de l'isotropie, dans lequel C' s'écrit : c' - 3k'J + 2p'K (1) où k' est le module de compression i p', le module de cisaillement. w llnw Définition du chargement I1 existe classiquement deux approches possi- bles pour définir le chargement mécanique subi par ]a phase solide Q'du v.e.r. (Zaout, 2002). Lorsque l'on adopte les conditions aux limites dites < uniformes en contraintes >, le chargement macroscopique est carac- térisé par le tenseur de contraintes macroscopique r et la pression macroscopique P : dir'"o:0 (f)") o-C":€ (f)') o-Tt,-I.n (ôO) CT. L La seconde possibilité consiste à utiliser des condi- tions aux limites uniformes en déformation, pour les- quelles les paramètres de chargement sont à présent le tenseur de déformation macroscopique E et la pression macroscopique P : REVUE FRANçAIsE DE eÉorEcHNrour N'122 1"'trimestre 2008 cliv,o:0 (O") a:C"*:e (()') 9:E.z (,?O) (3) o 'TL Pn, Q'r) Dans les équations (2) et (3), le système matériel coïncide avec la phase solide. Cependant,, il est com- mode d'étendre la définition du problème micromé- canique à la totalité du volume élémentaire (solide et espace poreux saturé). il suffit d'introduire un matériau fictif dans l'espace poreux, dont le comportement est de tvp'3:'Ë,T:Jïïï avec p',;:i'i]Ëî ' ,n, La condition I Col dans f)p et rend compte de la condition de continuité à l'interface fluide-solide I'r dans les équations (z) et (3). Lintérêt de ce point de vue réside dans le fait qu'il permet de formuler le comportement local d'une façon unifiée pour la totalité du v.e .f. : (Yz € 0) o(z) - C(z): E(.) + o,(z) (5) âVEC : E .'{L-: t . L Le tenseur lB Oe localisation de la contrainte. on note que la règle de moyenne sur les contrain- tes I - o qui résulte des conditions aux limites choisies implique que B = n. En vertu de la condrtion I Col < | C.l , I'état de contrainte dans i'espace poreux est g = O. Ceci revient à écrire que I JBil = O dans frp et implique eue : I-B-(1 -Ç)B'+ 9,w = (1 -Ço)lB' :o1) La déformation macroscopique E étant définie comme la moyenne g la combinaison des équations (9) et (10) fournit : E_g/rcinr:X ç1/zonr,_R.lR L/-Liv.lj-u L'équation (12) montre que le comportement macroscopique est linéaire élastique s1 ghom s'inter- prète comme le tenseur de souplesse homogénéisé. Les tenseurs de souplesse S'du solide et Sp de l'espace poreux (rappelons le caractère fictif de ce dernier) étant uniformes, $hom s'écrit : grzr''ni - (1 - pr)S"' ]8" * prSo soit, en se souvenant de la relation (11) : 5ho,z':S"*poSr,ts" ' tso (1+) La souplesse macroscopique uploads/Voyage/ milietx-micro-contrainte-poreux.pdf